淺談小學(xué)數(shù)學(xué)空間與圖形教學(xué)

　　導(dǎo)語(yǔ)： 我們對(duì)空間與圖形的教學(xué)的理解，不象對(duì)問(wèn)題解決教學(xué)的理解那么系統(tǒng)。促使我們比較多地自覺(jué)或不自覺(jué)地進(jìn)行著比較，并且在比較過(guò)程中去辨析、實(shí)踐與反思，由此逐步形成了一些共識(shí)。

　　現(xiàn)在新課程強(qiáng)調(diào)要著眼于學(xué)生空間觀念的培養(yǎng)和生成，大量增加了幾何教學(xué)的內(nèi)容。面對(duì)這一領(lǐng)域的變化，如何更科學(xué)地實(shí)施教學(xué)，真正達(dá)到新課標(biāo)所提出的要求，我們始終以學(xué)習(xí)與思考拓展認(rèn)識(shí)視野，以把握和理解新教材為依托，以案例研究為抓手，取得了一些進(jìn)展。

　　一、拓展了認(rèn)識(shí)視野。

　　只有在觀念和思想上對(duì)要把握的項(xiàng)目有更深入的認(rèn)識(shí)，才能使行動(dòng)更科學(xué)和自覺(jué)，也才能居高臨下地去辨別實(shí)踐中的得失、正誤。

　　學(xué)生在初中學(xué)習(xí)數(shù)軸、平面幾何，高中學(xué)習(xí)立體幾何、解析幾何等數(shù)學(xué)內(nèi)容，非常重要的基礎(chǔ)在小學(xué)。這些高一級(jí)知識(shí)，不僅要求學(xué)生有一種基礎(chǔ)性的幾何知識(shí)，更是要有清晰的空間觀念。例如平面幾何中的添輔助線，非常重要的要有一種對(duì)圖形的切拼構(gòu)造能力和圖形的對(duì)稱(chēng)、旋轉(zhuǎn)和平移的幾何變換能力。學(xué)生要學(xué)習(xí)和掌握這些復(fù)雜的幾何知識(shí)，需要豐富的空間觀念。這種能力一方面當(dāng)然主要是在學(xué)習(xí)這些知識(shí)的過(guò)程中生成的，但另一方面也要依賴(lài)于學(xué)生在小學(xué)幼兒園階段的空間與幾何的經(jīng)驗(yàn)、感覺(jué)的積累，如果在少兒階段不積累這些空間感覺(jué)和經(jīng)驗(yàn)，到后來(lái)這種感覺(jué)就失去了，到要用這種感覺(jué)時(shí)就困難了。就像施那普拉在離任中國(guó)足球隊(duì)主教練時(shí)對(duì)中國(guó)足球發(fā)展的建言中提到的那樣：中國(guó)足球隊(duì)員缺少踢球感覺(jué)，這些感覺(jué)本應(yīng)在少兒時(shí)期于街道、弄堂里就要完成的，而現(xiàn)在要到專(zhuān)業(yè)訓(xùn)練時(shí)再來(lái)尋找，這就困難了。沒(méi)有這種類(lèi)似于直覺(jué)的引領(lǐng)，球隊(duì)水平就很難提高，也就是沒(méi)有練好“童子功”。其實(shí)所有的學(xué)習(xí)都是如此，空間與圖形也不例外。

　　二、推動(dòng)了學(xué)習(xí)思考。

　　我們對(duì)空間與圖形的教學(xué)的理解，不象對(duì)問(wèn)題解決教學(xué)的理解那么系統(tǒng)。促使我們比較多地自覺(jué)或不自覺(jué)地進(jìn)行著比較，并且在比較過(guò)程中去辨析、實(shí)踐與反思，由此逐步形成了一些共識(shí)。

　　1．空間觀念是各方面整體協(xié)調(diào)的結(jié)果。

　　空間觀念是對(duì)現(xiàn)實(shí)中的物體和幾何體的形狀、大小、位置關(guān)系及其變換的整體把握。從現(xiàn)實(shí)中的物體和幾何體出發(fā)，就會(huì)涉及把現(xiàn)實(shí)空間中的經(jīng)驗(yàn)遷移到幾何空間中，以此把握幾何空間，再用在幾何空間中抽象而成的特征、性質(zhì)來(lái)解釋現(xiàn)實(shí)空間、解決現(xiàn)實(shí)空間中的問(wèn)題，在這樣抽象、還原的過(guò)程中空間觀念才能建立。從幾何體與平面圖形之間的關(guān)系出發(fā)，就會(huì)涉及到平面從幾何體上剝離下來(lái)的；如何剝離，就又涉及到視圖，從各個(gè)不同的方向觀察。從方向與位置出發(fā)，就會(huì)涉及到距離和角度，涉及到前后左右上下、東南西北以及關(guān)于垂直與水平方向組成的座標(biāo)；會(huì)涉及到有關(guān)變換，平移、旋轉(zhuǎn)與對(duì)稱(chēng)，以及這些變換過(guò)程中的變化部分與不變部分等等，由此就形成了一條知識(shí)鏈。只有以上這些都能夠協(xié)調(diào)起來(lái)，而且各方面之間有一種內(nèi)在的邏輯聯(lián)系，由此組合成一個(gè)整體，空間觀念才能真正得以確立。

　　2．兒童空間觀念的形成有其特定的認(rèn)知特點(diǎn)。

　　我國(guó)的心理學(xué)家劉范、張?jiān)鼋艿韧ㄟ^(guò)研究得出一些有啟示性的結(jié)論。其中對(duì)兒童幾何發(fā)展的路徑作出了分析，“兒童是先認(rèn)識(shí)一個(gè)籠統(tǒng)的三維空間、整體，再分別認(rèn)識(shí)其中的二維、一維空間，或者部分；在已獲得了有關(guān)概念時(shí)，再理解在構(gòu)成上部分到整體，由一維到二維、三維的關(guān)系。后者是前者在高一級(jí)認(rèn)知水平上的逆轉(zhuǎn)”；對(duì)感知與概念、感知與推理之間的矛盾作了分析，其本質(zhì)是“守恒”，提出了概念守恒與多樣的兩個(gè)屬性，并由此聯(lián)系到變式問(wèn)題等等。只有理解與把握了這些，我們才能更好地組織小學(xué)空間與圖形的教學(xué)，才能使教學(xué)走上科學(xué)化的道路。

　　三、促進(jìn)了對(duì)教材的理解。

　　教材是結(jié)合教學(xué)現(xiàn)實(shí)，按照學(xué)生的心理特點(diǎn)而創(chuàng)造。它是一個(gè)全息系統(tǒng)，蘊(yùn)含著空間與圖形教學(xué)的所有信息，我們?cè)趯W(xué)習(xí)和實(shí)踐中逐步形成了這樣幾個(gè)方面認(rèn)識(shí)。

　　1．整體推進(jìn)，線索清晰。

　　教材的整體框架是依據(jù)空間與圖形的四個(gè)方面有序地展開(kāi)，整體上是螺旋式上升，讓學(xué)生對(duì)幾何事實(shí)和空間觀念有一個(gè)逐步深入的過(guò)程。圍繞兩條大的線索：一條是以圖形的空間關(guān)系研究為線索，主要是研究空間的三個(gè)方面：（1）現(xiàn)實(shí)空間和幾何空間之間的關(guān)系。幾何空間源于現(xiàn)實(shí)空間，是現(xiàn)實(shí)空間的抽象，同時(shí)在幾何空間中獲得的認(rèn)識(shí)只有再回到現(xiàn)實(shí)中去進(jìn)一步認(rèn)識(shí)、把握現(xiàn)實(shí)空間，才能使抽象空間與現(xiàn)實(shí)空間融為一體，推動(dòng)學(xué)生空間觀念的生成。（2）體與體、面與面、線與線之間的關(guān)系。它們之間的關(guān)系就產(chǎn)生了位置、方位與變換，就產(chǎn)生了平行、垂直與角，就有各種不同的拼搭與組合。由此內(nèi)化成關(guān)于空間的若干結(jié)構(gòu)，這是空間觀念。（3）體與面、面與線、體與線之間的關(guān)系，這些關(guān)系的形成依賴(lài)于視線與投影、分解與分析、想象與推理，在這些關(guān)系的探求就會(huì)有三維、二維和一維圖形之間的相互轉(zhuǎn)化，這種轉(zhuǎn)化越多、越靈活，空間觀念的生成就越迅速與牢固。另一條是以數(shù)量關(guān)系研究為線索，也主要體現(xiàn)在三個(gè)方面：（1）用一維長(zhǎng)度研究圖形中線段的長(zhǎng)短，圖形之間的距離；（2）用二維面積來(lái)把握?qǐng)D形的大��；（3）用三維體積來(lái)研究圖形占據(jù)空間的多少。以上兩條線索不是分離的，而是融合的。

　　2．綜合、滲透。

　　教材在編寫(xiě)中非常注重綜合與滲透。例如在低年級(jí)的認(rèn)識(shí)基本的規(guī)則圖形時(shí)，是從長(zhǎng)、正方形出發(fā)，再通過(guò)把長(zhǎng)、正方形分割成若干三角形，再由這些三角形通過(guò)拼搭形成平行四邊形和梯形，這樣的設(shè)計(jì)既滲透了面積守恒的觀念，又滲透了拼搭中相等邊的理解，這些拼配對(duì)以后學(xué)習(xí)對(duì)稱(chēng)、旋轉(zhuǎn)、圖形面積的推導(dǎo)都是一個(gè)基礎(chǔ)。還有在認(rèn)識(shí)三角形，特別是等腰等邊三角形時(shí)，讓學(xué)生用一張正方形紙折出一個(gè)等邊三角形，這不僅是一種實(shí)際操作，更可引發(fā)學(xué)生的平面邏輯推理，而且這種推理還相當(dāng)重要，要用到圖形對(duì)稱(chēng)、正方形的特征和邊與邊的互換。綜合產(chǎn)生集聚效應(yīng)，生成突變；滲透能使認(rèn)識(shí)達(dá)到透徹和深入。這樣的設(shè)計(jì)安排，就有可能使學(xué)生生成的知識(shí)是“一個(gè)帶鉤的原子”，由此形成堅(jiān)固的知識(shí)結(jié)構(gòu)，產(chǎn)生組合質(zhì)變。

　　四、提升了對(duì)經(jīng)驗(yàn)的總結(jié)。

　　圍繞空間與圖形領(lǐng)域的教學(xué)內(nèi)容，我們進(jìn)行了有主題、有實(shí)踐、有反思的案例研究，通過(guò)課堂這個(gè)充滿(mǎn)創(chuàng)造的教學(xué)領(lǐng)域，獲得了一些認(rèn)識(shí)。

　　1．空間與圖形的學(xué)習(xí)應(yīng)該在活動(dòng)中建構(gòu)。

　　例如在教學(xué)三角形“任意兩邊之和大于第三邊”這條原理時(shí)，分兩個(gè)層次教學(xué)：先是讓學(xué)生從五根小棒中任意抓三根圍一圍，讓學(xué)生直觀感知到有些是可以圍成的，有些是圍不成的，同時(shí)使學(xué)生產(chǎn)生一種空間直覺(jué)，當(dāng)兩條較短的邊合起來(lái)小于最長(zhǎng)邊是圍不成的，當(dāng)兩條較短的邊合起來(lái)大于最長(zhǎng)邊是可以圍成的；接著讓學(xué)生邊圍邊有序地記錄每根小棒的長(zhǎng)度，并對(duì)此進(jìn)行必要的分類(lèi)；最后讓學(xué)生在空間直覺(jué)引領(lǐng)下形成的三邊關(guān)系幾何模型和基于數(shù)據(jù)尋找三邊關(guān)系的代數(shù)模型這兩者的相互作用中抽象出三角形三邊之間的關(guān)系。從以上片斷中我們可以看出，只有在操作與實(shí)踐活動(dòng)的探究中才能把握幾何空間特征和性質(zhì)的實(shí)質(zhì)，也就是把握空間既要有活動(dòng)，又要有思考。

　　2．知識(shí)是過(guò)程與結(jié)果的雙重建構(gòu)。

　　新課程強(qiáng)調(diào)學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程中的感受與體驗(yàn)。所以在編寫(xiě)中為了加強(qiáng)教學(xué)的探究性，很多地方都只是展示了知識(shí)生成和教學(xué)活動(dòng)的過(guò)程，對(duì)基本的幾何知識(shí)和概念都不直接出示。例如我校有一位教師上面積和面積單位這一課時(shí)，提供了大量資源和素材讓學(xué)生圍繞物體表面和平面圖形，通過(guò)看一看、摸一摸、畫(huà)一畫(huà)、想一想、比一比把握其大小，應(yīng)該說(shuō)學(xué)生的活動(dòng)和體驗(yàn)也較豐富。課后凌老師給我們?cè)u(píng)課時(shí)也充分肯定了這一點(diǎn)，但同時(shí)提出了一個(gè)建議：是否在學(xué)生大量生動(dòng)的實(shí)踐活動(dòng)和感受體驗(yàn)的基礎(chǔ)上，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行必要的抽象和概括，提升到物體表面和平面圖形的大小叫面積。這樣既有豐富的過(guò)程，又有基本的抽象，過(guò)程與結(jié)果之間相互作用，使學(xué)生的理解既穩(wěn)定又開(kāi)放，既抽象又具象。

　　以上是幾年來(lái)對(duì)這一課題研究中的一些認(rèn)識(shí)和體會(huì)，隨著研究的深入，越來(lái)越感到這些認(rèn)識(shí)的膚淺，越來(lái)越感到研究的難度，也越來(lái)越感到研究的必要。