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高中數(shù)學(xué)誘導(dǎo)公式大全
常用的誘導(dǎo)公式有以下幾組：
公式一：
設(shè)為任意角，終邊相同的角的同一三角函數(shù)的值相等：
sin(2k)=sin (kZ)
cos(2k)=cos (kZ)
tan(2k)=tan (kZ)
cot(2k)=cot (kZ)
公式二：
設(shè)為任意角，的三角函數(shù)值與的三角函數(shù)值之間的關(guān)系：
sin()=-sin
cos()=-cos
tan()=tan
cot()=cot
公式三：
任意角與 -的三角函數(shù)值之間的關(guān)系：
sin(-)=-sin
cos(-)=cos
tan(-)=-tan
cot(-)=-cot
公式四：
利用公式二和公式三可以得到與的三角函數(shù)值之間的關(guān)系：
sin()=sin
cos()=-cos
tan()=-tan
cot()=-cot
公式五：
利用公式一和公式三可以得到2與的三角函數(shù)值之間的關(guān)系：
sin(2)=-sin
cos(2)=cos
tan(2)=-tan
cot(2)=-cot
公式六：
/2及3/2與的三角函數(shù)值之間的關(guān)系：
sin(/2+)=cos
cos(/2+)=-sin
tan(/2+)=-cot
cot(/2+)=-tan
sin(/2-)=cos
cos(/2-)=sin
tan(/2-)=cot
cot(/2-)=tan
sin(3/2+)=-cos
cos(3/2+)=sin
tan(3/2+)=-cot
cot(3/2+)=-tan
sin(3/2-)=-cos
cos(3/2-)=-sin
tan(3/2-)=cot
cot(3/2-)=tan
(以上kZ)
注意：在做題時(shí)，將a看成銳角來做會(huì)比較好做。
誘導(dǎo)公式記憶口訣
規(guī)律總結(jié)
上面這些誘導(dǎo)公式可以概括為：
對(duì)于/2*k (kZ)的三角函數(shù)值，
①當(dāng)k是偶數(shù)時(shí)，得到的同名函數(shù)值，即函數(shù)名不改變;
�、诋�(dāng)k是奇數(shù)時(shí)，得到相應(yīng)的余函數(shù)值，即sincostancot，cottan.
(奇變偶不變)
然后在前面加上把看成銳角時(shí)原函數(shù)值的符號(hào)。
(符號(hào)看象限)
例如：
sin(2)=sin(4/2-)，k=4為偶數(shù)，所以取sin。
當(dāng)是銳角時(shí)，2(270，360)，sin(2)0，符號(hào)為-。
所以sin(2)=-sin
上述的記憶口訣是：
奇變偶不變，符號(hào)看象限。
公式右邊的符號(hào)為把視為銳角時(shí)，角k360+(kZ)，-、180，360-
所在象限的原三角函數(shù)值的符號(hào)可記憶
水平誘導(dǎo)名不變;符號(hào)看象限。
各種三角函數(shù)在四個(gè)象限的符號(hào)如何判斷，也可以記住口訣一全正;二正弦(余割);三兩切;四余弦(正割).
這十二字口訣的意思就是說：
第一象限內(nèi)任何一個(gè)角的四種三角函數(shù)值都是+
第二象限內(nèi)只有正弦是+，其余全部是-
第三象限內(nèi)切函數(shù)是+，弦函數(shù)是-
第四象限內(nèi)只有余弦是+，其余全部是-.
上述記憶口訣，一全正，二正弦，三內(nèi)切，四余弦
還有一種按照函數(shù)類型分象限定正負(fù)：
函數(shù)類型 第一象限 第二象限 第三象限 第四象限
正弦 ...........+............+................................
余弦 ...........+....................................+........
正切 ...........+........................+....................
余切 ...........+........................+....................
同角三角函數(shù)基本關(guān)系
同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式
倒數(shù)關(guān)系：
tancot=1
sincsc=1
cossec=1
商的關(guān)系：
sin/cos=tan=sec/csc
cos/sin=cot=csc/sec
平方關(guān)系：
sin^2()+cos^2()=1
1+tan^2()=sec^2()
1+cot^2()=csc^2()
同角三角函數(shù)關(guān)系六角形記憶法
六角形記憶法：
構(gòu)造以上弦、中切、下割;左正、右余、中間1的正六邊形為模型。
(1)倒數(shù)關(guān)系：對(duì)角線上兩個(gè)函數(shù)互為倒數(shù);
(2)商數(shù)關(guān)系：六邊形任意一頂點(diǎn)上的函數(shù)值等于與它相鄰的兩個(gè)頂點(diǎn)上函數(shù)值的乘積。
(主要是兩條虛線兩端的三角函數(shù)值的乘積)。由此，可得商數(shù)關(guān)系式。
(3)平方關(guān)系：在帶有陰影線的三角形中，上面兩個(gè)頂點(diǎn)上的三角函數(shù)值的平方和等于下面頂點(diǎn)上的三角函數(shù)值的平方。
兩角和差公式
兩角和與差的三角函數(shù)公式
sin(+)=sincos+cossin
sin(-)=sincos-cossin
cos(+)=coscos-sinsin
cos(-)=coscos+sinsin
tan(+)=(tan+tan)/(1-tantan)
tan(-)=(tan-tan)/(1+tantan)
二倍角公式
二倍角的正弦、余弦和正切公式(升冪縮角公式)
sin2=2sincos
cos2=cos^2()-sin^2()=2cos^2()-1=1-2sin^2()
tan2=2tan/[1-tan^2()]
半角公式
半角的正弦、余弦和正切公式(降冪擴(kuò)角公式)
sin^2(/2)=(1-cos)/2
cos^2(/2)=(1+cos)/2
tan^2(/2)=(1-cos)/(1+cos)
另也有tan(/2)=(1-cos)/sin=sin/(1+cos)
萬能公式
sin=2tan(/2)/[1+tan^2(/2)]
cos=[1-tan^2(/2)]/[1+tan^2(/2)]
tan=2tan(/2)/[1-tan^2(/2)]
萬能公式推導(dǎo)
附推導(dǎo)：
sin2=2sincos=2sincos/(cos^2()+sin^2())......*，
(因?yàn)閏os^2()+sin^2()=1)
再把*分式上下同除cos^2()，可得sin2=2tan/(1+tan^2())
然后用/2代替即可。
同理可推導(dǎo)余弦的萬能公式。正切的萬能公式可通過正弦比余弦得到。
三倍角公式
三倍角的正弦、余弦和正切公式
sin3=3sin-4sin^3()
cos3=4cos^3()-3cos
tan3=[3tan-tan^3()]/[1-3tan^2()]
三倍角公式推導(dǎo)
附推導(dǎo)：
tan3=sin3/cos3
=(sin2cos+cos2sin)/(cos2cos-sin2sin)
=(2sincos^2()+cos^2()sin-sin^3())/(cos^3()-cossin^2()-2sin^2()cos)
上下同除以cos^3()，得：
tan3=(3tan-tan^3())/(1-3tan^2())
sin3=sin(2+)=sin2cos+cos2sin
=2sincos^2()+(1-2sin^2())sin
=2sin-2sin^3()+sin-2sin^3()
=3sin-4sin^3()
cos3=cos(2+)=cos2cos-sin2sin
=(2cos^2()-1)cos-2cossin^2()
=2cos^3()-cos+(2cos-2cos^3())
=4cos^3()-3cos
即
sin3=3sin-4sin^3()
cos3=4cos^3()-3cos
三倍角公式聯(lián)想記憶
★記憶方法：諧音、聯(lián)想
正弦三倍角：3元 減 4元3角(欠債了(被減成負(fù)數(shù))，所以要掙錢(音似正弦))
余弦三倍角：4元3角 減 3元(減完之后還有余)
☆☆注意函數(shù)名，即正弦的三倍角都用正弦表示，余弦的三倍角都用余弦表示。
★另外的記憶方法：
正弦三倍角： 山無司令 (諧音為 三無四立) 三指的是3倍sin， 無指的是減號(hào)， 四指的是4倍， 立指的是sin立方
余弦三倍角： 司令無山 與上同理
和差化積公式
三角函數(shù)的和差化積公式
sin+sin=2sin[(+)/2]cos[(-)/2]
sin-sin=2cos[(+)/2]sin[(-)/2]
cos+cos=2cos[(+)/2]cos[(-)/2]
cos-cos=-2sin[(+)/2]sin[(-)/2]
積化和差公式
三角函數(shù)的積化和差公式
sincos=0.5[sin(+)+sin(-)]
cossin=0.5[sin(+)-sin(-)]
coscos=0.5[cos(+)+cos(-)]
sinsin=-0.5[cos(+)-cos(-)]
和差化積公式推導(dǎo)
附推導(dǎo)：
首先，我們知道sin(a+b)=sina*cosb+cosa*sinb，sin(a-b)=sina*cosb-cosa*sinb
我們把兩式相加就得到sin(a+b)+sin(a-b)=2sina*cosb
所以，sina*cosb=(sin(a+b)+sin(a-b))/2
同理，若把兩式相減，就得到cosa*sinb=(sin(a+b)-sin(a-b))/2
同樣的，我們還知道cos(a+b)=cosa*cosb-sina*sinb，cos(a-b)=cosa*cosb+sina*sinb
所以，把兩式相加，我們就可以得到cos(a+b)+cos(a-b)=2cosa*cosb
所以我們就得到，cosa*cosb=(cos(a+b)+cos(a-b))/2
同理，兩式相減我們就得到sina*sinb=-(cos(a+b)-cos(a-b))/2
這樣，我們就得到了積化和差的四個(gè)公式：
sina*cosb=(sin(a+b)+sin(a-b))/2
cosa*sinb=(sin(a+b)-sin(a-b))/2
cosa*cosb=(cos(a+b)+cos(a-b))/2
sina*sinb=-(cos(a+b)-cos(a-b))/2
有了積化和差的四個(gè)公式以后，我們只需一個(gè)變形，就可以得到和差化積的四個(gè)公式。
我們把上述四個(gè)公式中的a+b設(shè)為x，a-b設(shè)為y，那么a=(x+y)/2，b=(x-y)/2
把a(bǔ)，b分別用x，y表示就可以得到和差化積的四個(gè)公式：
sinx+siny=2sin((x+y)/2)*cos((x-y)/2)
sinx-siny=2cos((x+y)/2)*sin((x-y)/2)
cosx+cosy=2cos((x+y)/2)*cos((x-y)/2)
cosx-cosy=-2sin((x+y)/2)*sin((x-y)/2)
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