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高二數(shù)學(xué)選修2-1知識點(diǎn)總結(jié)

時(shí)間：2022-07-02 09:08:14 總結(jié)范文我要投稿

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　　導(dǎo)語：對于所學(xué)知識，我們應(yīng)當(dāng)作出總結(jié)。以下是小編整理的高二數(shù)學(xué)選修2-1知識點(diǎn)總結(jié)，供各位閱讀和參考。

高二數(shù)學(xué)選修2-1知識點(diǎn)總結(jié)

　　基礎(chǔ)梳理

　　1．簡單的邏輯聯(lián)結(jié)詞

　　(1)命題中的“且”“或”“非”叫做邏輯聯(lián)結(jié)詞．

　　(2)簡單復(fù)合命題的真值表：

　　2.全稱量詞與存在量詞

　　(1)常見的全稱量詞有：“任意一個(gè)”“一切”“每一個(gè)”“任給”“所有的”等．

　　(2)常見的存在量詞有：“存在一個(gè)”“至少有一個(gè)”“有些”“有一個(gè)”“某個(gè)”“有的”等．

　　(3)全稱量詞用符號“”表示；存在量詞用符號“”表示．

　　3．全稱命題與特稱命題

　　(1)含有全稱量詞的命題叫全稱命題．

　　(2)含有存在量詞的命題叫特稱命題．

　　4．命題的否定

　　(1)全稱命題的否定是特稱命題；特稱命題的否定是全稱命題．

　　(2)p或q的否定為：非p且非q；p且q的否定為：非p或非q.

　　一個(gè)關(guān)系

　　邏輯聯(lián)結(jié)詞與集合的關(guān)系

　　“或、且、非”三個(gè)邏輯聯(lián)結(jié)詞，對應(yīng)著集合運(yùn)算中的“并、交、補(bǔ)”，因此，常常借助集合的“并、交、補(bǔ)”的意義來解答由“或、且、非”三個(gè)聯(lián)結(jié)詞構(gòu)成的命題問題．

　　兩類否定

　　1．含有一個(gè)量詞的命題的否定

　　(1)全稱命題的否定是特稱命題

　　全稱命題p：x∈M，p(x)，它的否定p：x0∈M，p(x0)．

　　(2)特稱命題的否定是全稱命題

　　特稱命題p：x0∈M，p(x0)，它的否定p：x∈M，p(x)．

　　2．復(fù)合命題的否定

　　(1)非(p∧q)(p)∨(q)；

　　(2)非(p∨q)(p)∧(q)．

　　三條規(guī)律

　　(1)對于“p∧q”命題：一假則假；

　　(2)對“p∨q”命題：一真則真；

　　(3)對“p”命題：與“p”命題真假相反．

　　雙基自測

　　1．(人教A版教材習(xí)題改編)已知命題p：x∈R，sin x≤1，則( )．

　　A．p：x0∈R，sin x0≥1 B．p：x∈R，sin x≥1

　　C．p：x0∈R，sin x0>1 D．p：x∈R，sin x>1

　　解析命題p是全稱命題，全稱命題的否定是特稱命題．

　　答案 C

　　2．(2011·北京)若p是真命題，q是假命題，則( )．

　　A．p∧q是真命題 B．p∨q是假命題

　　C．p是真命題 D．q是真命題

　　解析本題考查命題和邏輯聯(lián)結(jié)詞的基礎(chǔ)知識，意在考查考生對邏輯聯(lián)結(jié)詞的理解運(yùn)用能力．只有q是真命題．

　　答案 D

　　3．命題p：若a，b∈R，則|a|＋|b|＞1是|a＋b|＞1的充分而不必要條件．命題q：函數(shù)y＝的定義域是(－∞，－1]∪[3，＋∞)則()．

　　A．“p或q”為假 B．“p且q”為真

　　C．p真q假 D．p假q真

　　答案 D

　　4．設(shè)p、q是兩個(gè)命題，則復(fù)合命題“p∨q為真，p∧q為假”的充要條件是()．

　　A．p、q中至少有一個(gè)為真 B．p、q中至少有一個(gè)為假

　　C．p、q中有且只有一個(gè)為真 D．p為真、q為假

　　答案 C

　　5．(2010·安徽)命題“對任何x∈R，|x－2|＋|x－4|>3”的否定是______________________．

　　答案存在x0∈R，使|x0－2|＋|x0－4|≤3

　　考向一含有邏輯聯(lián)結(jié)詞命題真假的判斷

　　【例1】(2010·新課標(biāo)全國)已知命題p1：函數(shù)y＝2x－2－x在R上為增函數(shù)，p2：函數(shù)y＝2x＋2－x在R上為減函數(shù)，則在命題q1：p1∨p2，q2：p1∧p2，q3：(p1)∨p2和q4：p1∧(p2)中，真命題是()．

　　A．q1，q3 B．q2，q3

　　C．q1，q4 D．q2，q4

　　[審題視點(diǎn)] 根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性判斷p1，p2的真假．

　　解析可判斷p1為真，p2為假；則q1為真，q2為假，q3為假，q4為真．

　　答案 C

　　“p∨q”、“p∧q”、“q”形式命題真假的判斷步驟：(1)確定命題的構(gòu)成形式；(2)判斷其中命題p、q的真假；(3)確定“p∨q”、“p∧q”、“q”形式命題的真假．

　　【訓(xùn)練1】已知命題p：x0∈R，使sin x0＝25；命題q：x∈R，都有x2＋x＋1＞0.給出下列結(jié)論

　�、倜}“p∧q”是真命題； ②命題“p∨q”是假命題；

　�、勖}“p∨q”是真命題； ④命題“p∨q”是假命題．

　　其中正確的是()．

　　A．②③ B．②④

　　C．③④ D．①②③

　　解析命題p是假命題，命題q是真命題，故③④正確．

　　答案 C

　　考向二全稱命題與特稱命題

　　【例2】寫出下列命題的否定，并判斷其真假．

　　(1)p：x∈R，x2－x＋41≥0；

　　(2)q：所有的正方形都是矩形；

　　(3)r：x0∈R，x02＋2x0＋2≤0；

　　(4)s：至少有一個(gè)實(shí)數(shù)x0，使x03＋1＝0.

　　[審題視點(diǎn)] 改變量詞，否定結(jié)論，寫出命題的否定；判斷命題的真假．

　　解 (1)p：x0∈R，x02－x0＋41＜0，假命題．

　　(2)q：至少存在一個(gè)正方形不是矩形，假命題．

　　(3)r：x∈R，x2＋2x＋2＞0，真命題．

　　(4)s：x∈R，x3＋1≠0，假命題．

　　全稱命題與特稱命題的否定與命題的否定有一定的區(qū)別，否定全稱命題和特稱命題時(shí)，一是要改寫量詞，全稱量詞改寫為存在量詞，存在量詞改寫為全稱量詞；二是要否定結(jié)論．而一般命題的否定只需直接否定結(jié)論即可．

　　【訓(xùn)練2】寫出下列命題的否定，并判斷真假．

　　(1)p：x∈R，x不是3x－5＝0的根；

　　(2)q：有些合數(shù)是偶數(shù)；

　　(3)r：x0∈R，|x0－1|＞0.

　　解 (1)p：x0∈R，x0是3x－5＝0的根，真命題．

　　(2)q：每一個(gè)合數(shù)都不是偶數(shù)，假命題．

　　(3)r：x∈R，|x－1|≤0，假命題．

　　考向三根據(jù)命題的真假，求參數(shù)的取值范圍

　　【例3】(2012·浙大附中月考)已知命題p：方程x2＋mx＋1＝0有兩個(gè)不等的負(fù)實(shí)數(shù)根；命題q：方程4x2＋4(m－2)x＋1＝0無實(shí)數(shù)根．若“p或q”為真命題，“p且q”為假命題，求m的取值范圍．

　　[審題視點(diǎn)] 先解不等式將命題p與命題q具體化，然后根據(jù)“p或q”與“p且q”的條件可以知道命題p與命題q一真一假，從而求出m的取值范圍．

　　解由p得：－m＜0，Δ1＝m2－4＞0，則m＞2.

　　由q得：Δ2＝16(m－2)2－16＝16(m2－4m＋3)＜0，

　　則1＜m＜3.

　　又∵“p或q”為真，“p且q”為假，∴p與q一真一假．

　�、佼�(dāng)p真q假時(shí)，m≤1或m≥3，m＞2，解得m≥3；

　　②當(dāng)p假q真時(shí)，1＜m＜3，m≤2，解得1＜m≤2.

　　∴m的取值范圍為m≥3或1＜m≤2.

　　含有邏輯聯(lián)結(jié)詞的命題要先確定構(gòu)成命題的(一個(gè)或兩個(gè))命題的真假，求出此時(shí)參數(shù)成立的條件，再求出含邏輯聯(lián)結(jié)詞的命題成立的條件．

　　【訓(xùn)練3】已知a＞0，設(shè)命題p：函數(shù)y＝ax在R上單調(diào)遞增；命題q：不等式ax2－ax＋1＞0對x∈R恒成立．若p且q為假，p或q為真，求a的取值范圍．

　　解 ∵函數(shù)y＝ax在R上單調(diào)遞增，∴p：a＞1.

　　不等式ax2－ax＋1＞0對x∈R恒成立，

　　∴a＞0且a2－4a＜0，解得0＜a＜4，∴q：0＜a＜4.

　　∵“p∧q”為假，“p∨q”為真，

　　∴p、q中必有一真一假．

　�、佼�(dāng)p真q假時(shí)，a≥4，a＞1，得a≥4.

　�、诋�(dāng)p假q真時(shí)，0＜a＜4，0＜a≤1，得0＜a≤1.

　　故a的取值范圍為(0,1]∪[4，＋∞)．

　　規(guī)范解答1——借助常用邏輯用語求解參數(shù)范圍問題

　　【問題研究】利用常用邏輯用語求解參數(shù)的取值范圍主要涉及兩類問題：一是利用一些含有邏輯聯(lián)結(jié)詞命題的真假來確定參數(shù)的取值范圍；二是利用充要條件來確定參數(shù)的取值范圍.求解時(shí)，一定要注意取值區(qū)間端點(diǎn)值的檢驗(yàn)，處理不當(dāng)容易出現(xiàn)漏解或增解的現(xiàn)象.,

　　【解決方案】解決此類題目首先是合理轉(zhuǎn)化條件、運(yùn)用有關(guān)性質(zhì)、定理等得到參數(shù)的方程或不等式，然后通過解方程或不等式求得所求問題.

　　【示例】已知c＞0，且c≠1，設(shè)p：函數(shù)y＝cx在R上單調(diào)遞減；q：函數(shù)f(x)＝x2－2cx＋1在，＋∞1上為增函數(shù)，若“p∧q”為假，“p∨q”為真，求實(shí)數(shù)c的取值范圍．

　　(1)p，q真時(shí)，分別求出相應(yīng)的c的范圍；

　　(2)用補(bǔ)集的思想求出p，q分別對應(yīng)的c的范圍；(3)根據(jù)“p∧q”為假、“p∨q”為真，確定p，q的真假．

　　[解答示范] ∵函數(shù)y＝cx在R上單調(diào)遞減，

　　∴0＜c＜1.

　　即p：0＜c＜1.∵c＞0且c≠1，∴p：c＞1.

　　又∵f(x)＝x2－2cx＋1在，＋∞1上為增函數(shù)，

　　∴c≤21.即q：0＜c≤21.

　　∵c＞0且c≠1，∴q：c＞21且c≠1.

　　又∵“p∨q”為真，“p∧q”為假，∴p真q假或p假q真．

　　①當(dāng)p真，q假時(shí)，{c|0＜c＜1}∩且c≠11＝＜c＜11；