高一數(shù)學(xué)《兩角和與差的正切》教學(xué)案例

　　【學(xué)習(xí)導(dǎo)航】

　　1. 掌握兩角和與差的正切公式及其推導(dǎo)方法。

　　2. 通過(guò)公式的推導(dǎo)，了解它們的內(nèi)在聯(lián)系，培養(yǎng)邏輯推理能力。

　　3.能正確運(yùn)用三角公式，進(jìn)行簡(jiǎn)單的三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)、求值和恒等變形。

　　教學(xué)重點(diǎn)：

　　學(xué)習(xí)重點(diǎn)

　　能根據(jù)兩角和與差的正、余弦公式推導(dǎo)出兩角和與差的正切公式

　　學(xué)習(xí)難點(diǎn)

　　進(jìn)行簡(jiǎn)單的三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)、求值和恒等變形

　　【自學(xué)評(píng)價(jià)】

　　1.兩角和與差的正、余弦公式

　　2.tan(a+b)公式的推導(dǎo)

　　∵cos (a+b)0

　　tan(a+b)=

　　當(dāng)cosacosb0時(shí), 分子分母同時(shí)除以cosacosb得：

　　以-b代b得：

　　其中 都不等于

　　3. 注意：

　　1°必須在定義域范圍內(nèi)使用上述公式 tana，tanb，tan(a±b)只要有一個(gè)不存在就不能使用這個(gè)公式，只能用誘導(dǎo)公式.

　　2°注意公式的結(jié)構(gòu)，尤其是符號(hào).

　　4.請(qǐng)大家自行推導(dǎo)出cot(a±b)的公式—用cota，cotb表示

　　當(dāng)sinasinb0時(shí),cot(a+b)=

　　同理，得：cot(a-b)=

　　【精典范例】

　　例1已知tan?= ，tan?=?2 求cot(???)，并求?+?的值，其中0?<?<90?, 90?<?<180? .

　　【解】

　　例2 求下列各式的值：

　　(1)

　　(2)tan17?+tan28?+tan17?tan28?

　　(3)tan20°tan30°+tan30°tan40°+tan40°tan20°

　　【解】

　　點(diǎn)評(píng)：可在△ABC中證明

　　例3 已知 求證tan?=3tan(?+?).

　　【證】

　　例4已知tan?和 是方程 的兩個(gè)根，證明：p?q+1=0.

　　【證】

　　例5已知tan?= ，tan(??)= (tan?tan?+m),又?,?都是鈍角，求?+?的值.

　　【解】

　　思維點(diǎn)拔：

　　兩角和與差的正弦及余弦公式, 解題時(shí)要多觀察，勤思考，善于聯(lián)想，由例及類歸納解題方法，如適當(dāng)進(jìn)行角的變換，靈活應(yīng)用基本公式，特殊角函數(shù)的應(yīng)用等是三角恒等到變換中常用的方法和技能.

　　【追蹤訓(xùn)練一】

　　1.若tanAtanB=tanA+tanB+1，則cos(A+B)的值為( )

　　2.在△ABC中，若0

　　△ABC一定是( )

　　A.等邊三角形 B.直角三角形

　　C.銳角三角形 D.鈍角三角形

　　3.在△ABC中，tanA+tanB+tanC=3 ，tan2B=tanAtanC，則∠B等于 .

　　4. = .

　　5.已知 .

　　6.已知

　　(1)求 ;

　　(2)求 的值(其中 ).

　　【選修延伸】

　　例6已知A、B為銳角，證明 的充要條件是(1+tanA)(1+tanB)=2.

　　【證】

　　思維點(diǎn)拔：

　　可類似地證明以下命題：

　　(1)若α+β= ，

　　則(1-tanα)(1-tanβ)=2;

　　(2)若α+β= ，

　　則(1+tanα)(1+tanβ)=2;

　　(3)若α+β= ，

　　則(1-tanα)(1-tanβ)=2.

　　【追蹤訓(xùn)練二】

　　1.an67°30′-tan22°30′等于( )

　　A.1 B. C.2 D.4

　　2.an17°tan43°+tan17°tan30°+tan30°tan43°的值為( B )

　　A.-1 B.1 C. D.-

　　3.(1+tan1°)(1+tan2°)(1+tan3°)… (1+tan44°)(1+tan45°)= .

　　4. =

　　5.已知3sinβ=sin(2α+β)且tanα=1，則tan(α+β)=

　　6.已知方程x2+4ax+3a+1=0(a>1)的兩根分別為tanα，tanβ且α，β∈

　　(- )，求sin2(α+β)+sin(α+β)cos(α+β)+2cos2(α+β)的值.

　　7.已知函數(shù) 的圖象與 軸交點(diǎn)為  ，

　　求證：

　　學(xué)生質(zhì)疑

　　教師釋疑