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反比例函數(shù)的圖像和性質(zhì)
導(dǎo)語：下面是反比例函數(shù)及其圖像性質(zhì)的教材分析，歡迎參考閱讀。
反比例函數(shù)及其圖像性質(zhì)
教材分析
(1)知識結(jié)構(gòu)
(2)重點(diǎn)、難點(diǎn)分析
本節(jié)的重點(diǎn)是結(jié)合圖象，總結(jié)出反比例函數(shù)的性質(zhì).學(xué)習(xí)了前面三個基本函數(shù)后，學(xué)生有了一些識圖的能力，并掌握了基本的研究方法.學(xué)生在經(jīng)歷了一個畫圖的過程后，可以通過觀察、分析、與同學(xué)的相互討論、交流中，逐步形成對反比例函數(shù)的全面認(rèn)識.可以培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法，也是一個數(shù)學(xué)地發(fā)現(xiàn)問題解決問題的過程.本節(jié)的另一個重點(diǎn)是用待定系數(shù)法求反比例函數(shù)的解析式，這種方法在求四種基本函數(shù)解析式中都已經(jīng)用到，本節(jié)課通過鞏固練習(xí)，可進(jìn)一步提高對待定系數(shù)法的認(rèn)識.例如學(xué)生可以觀察出有幾個待定系數(shù)，就需要幾對自變量與函數(shù)的對應(yīng)值，即幾個方程.
本節(jié)的難點(diǎn)是描點(diǎn)、畫圖，由于學(xué)生知識的限制，描點(diǎn)、畫圖不能對圖形有一個全面的把握.這樣，學(xué)生在描點(diǎn)畫圖時就會感到困難，無法估計出這個圖象到底是什么樣子，感到無從下手.因此，從解析式中可以進(jìn)行初步的分析，認(rèn)識到反比例函數(shù)的圖象分成兩支，以便初步認(rèn)識其圖象的大致變化趨勢.
教法建議
數(shù)學(xué)教育的目的之一是幫助學(xué)生認(rèn)識數(shù)學(xué)，數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)世界有著密切的聯(lián)系，而且數(shù)學(xué)的發(fā)展是一個充滿著觀察、實(shí)驗(yàn)、歸納、類比和猜測的探索過程，因此，學(xué)生在獲得知識的同時，也應(yīng)該養(yǎng)成尊重客觀事實(shí)的態(tài)度，勇于探索的精神以及獨(dú)立思考與人合作交流的習(xí)慣.具體安排如下：
(1)從實(shí)例中抽象出數(shù)學(xué)模型
小學(xué)學(xué)習(xí)過反比例關(guān)系的知識，現(xiàn)在的物理、化學(xué)等學(xué)科中也有許多反比比例的實(shí)例.學(xué)生可以從比較簡單的實(shí)例中，抽象出這類函數(shù)的特點(diǎn)，形成反比例函數(shù)的概念.
(2)畫出圖象，研究反比例函數(shù)的性質(zhì)
可以創(chuàng)設(shè)數(shù)學(xué)情境，引導(dǎo)學(xué)生找出數(shù)與形的關(guān)系.如：k>0時，x與y同號，圖象在一、三象限，k<0時，x、y異號，圖象在二、四象限.類似的結(jié)論，可以在畫圖前，先組織學(xué)生猜測，并說明根據(jù)，畫圖后，再進(jìn)行補(bǔ)充.讓學(xué)生體驗(yàn)數(shù)學(xué)知識的形成過程.
(3)牢固掌握待定系數(shù)法
進(jìn)一步熟悉待定系數(shù)法解題的一般步驟，并通過不斷地運(yùn)用，逐漸發(fā)現(xiàn)有幾個待定系數(shù)，就應(yīng)列出幾個相應(yīng)的方程.這樣反比例函數(shù)只需一對自變量與函數(shù)的對應(yīng)值就可確定其解析式.
教學(xué)目標(biāo)
1、使學(xué)生能從簡單的實(shí)際問題中抽象出反比例關(guān)系的函數(shù)解析式;
2、會畫出反比例函數(shù)的圖象，并能結(jié)合圖象總結(jié)出反比例函數(shù)的性質(zhì)，滲透數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想;.
3、會用待定系數(shù)法求反比例函數(shù)的解析式;
4、通過揭示正比例函數(shù)與反比例函數(shù)的聯(lián)系與轉(zhuǎn)化，滲透辯證唯物主義的思想;
5、通過觀察、歸納、總結(jié)反比例函數(shù)的性質(zhì)，培養(yǎng)學(xué)生勇于探索的科學(xué)精神;
6、培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)地發(fā)現(xiàn)問題，并利用數(shù)學(xué)知識解決問題的能力.
教學(xué)重點(diǎn)：
反比例的'概念、圖像、性質(zhì)以及用待定系數(shù)法確定反比例函數(shù)的解析式.因?yàn)橐芯糠幢壤瘮?shù)就必須明確反比例函數(shù)的上述問題.
教學(xué)難點(diǎn)：
畫反比例函數(shù)的圖像，因?yàn)榉幢壤瘮?shù)的圖像有兩個分支，而且這兩個分支的變化趨勢又不同，學(xué)生初次接觸，一定會感到困難.
教學(xué)過程：
一、新課引入：
看下面的實(shí)例：(出示幻燈)
1.小紅家到學(xué)校的路程有5公里，寫出她上學(xué)所用的時間t與速度v的函數(shù)關(guān)系式;
2.有一個矩形面積是3平方米，寫出它的長a與寬b之間的函數(shù)關(guān)系式;
3.十一放七天假，老師布置要記憶36個單詞.設(shè)小明完成的天數(shù)為n，每天的單詞量為m，寫出m 與n 的函數(shù)關(guān)系式?
答：從函數(shù)的觀點(diǎn)看，在運(yùn)動變化的過程中，這兩個變量可以分別看成自變量與函數(shù)，寫成： ( )， ( )， ( )
二、新課講解：
1、讓學(xué)生觀察這幾個函數(shù)的特點(diǎn)，然后得出反比例函數(shù)的概念：(板書)
一般地，函數(shù) (k是常數(shù)， )叫做反比例函數(shù).
注意：自變量的指數(shù)是 -1，而不是1.
例1、判斷以下哪個式子中的x、y表示反比例函數(shù)關(guān)系?
⑴ ⑵ ⑶
例2、寫出下列函數(shù)的解析式，并判斷他們是不是反比例函數(shù)，如果是，求出他們的定義域.
⑴一個圓柱形鋼材的體積是800cm3,寫出它的底面積 和高 的函數(shù)關(guān)系.⑵壓強(qiáng)大小是由單位面積所受到的壓力決定的，那么當(dāng)物體受到的垂直壓力為100牛時，寫出壓強(qiáng)與受力面積的函數(shù)關(guān)系.
2、根據(jù)前面學(xué)習(xí)特殊函數(shù)的經(jīng)驗(yàn)，研究完函數(shù)的概念，跟著要研究的是什么?
答：圖像和性質(zhì).
通過這個問題，使學(xué)生對課本上給出的知識的發(fā)生、發(fā)展過程有一個明確的認(rèn)識，以后
學(xué)生要研究其他函數(shù)，也可以按照這種方式來研究.
下面，我們就來看一個例題：(出示幻燈)
例3、在平面直角坐標(biāo)系中畫出反比例函數(shù) 與 的圖像.
提問：⑴畫函數(shù)圖像的關(guān)鍵問題是什么?
答：合理、正確地選值列表.
⑵在選值時，你認(rèn)為要注意什么問題?
答：Ⅰ、由于函數(shù)圖像的特點(diǎn)還不清楚，多選幾個點(diǎn)較好;
Ⅱ、不能選 ，因?yàn)?時函數(shù)無意義;
Ⅲ、選整數(shù)較好計算和描點(diǎn).
這個問題中最核心的一點(diǎn)是關(guān)于 的問題，提醒學(xué)生注意.
⑶你能不能自己完成這道題呢?
解：列表
x -6 -5 -4 -3 1 2 3 4 5 6
-1 -1.2 -1.5 -2 6 3 2 1.5 1.2 1
1 1.2 1.5 2 -6 -3 -2 -1.5 -1.2 1
說明：由于學(xué)生第一次接觸反比例函數(shù)，無法推測出它的大致圖象.取點(diǎn)的時候最好多取幾個，正負(fù)可以對稱著取分別畫點(diǎn)描圖
學(xué)生在練習(xí)本上列表、描點(diǎn)、連線，教師在黑板上板演，到連線時可暫停，讓學(xué)生先連完線之后，找一名同學(xué)上黑板連線，然后就這名同學(xué)的連線加以評價、總結(jié).
注意：(1)一般地反比例函數(shù) (k是常數(shù)， )的圖象由兩條曲線組成，叫做雙曲線;
(2)這兩條曲線不相交;
(3)這兩條曲線無限延伸，無限靠近x軸和y軸，但永不會與x軸和y軸相交.
關(guān)于注意(3)可問學(xué)生：為什么圖像與x和y軸不相交?
通過這個問題既可加深學(xué)生對反比例函數(shù)圖像的記憶又可培養(yǎng)學(xué)生思維的靈活性和深刻性.
3、再讓學(xué)生觀察黑板上的雙曲線圖 ，提問、歸納、總結(jié)出反比例函數(shù)的性質(zhì)：
(1)當(dāng) 時，雙曲線的兩個分支各在哪個象限內(nèi)?在每個象限內(nèi)，y隨x的增大怎樣變化?
(2)當(dāng) 時，雙曲線的兩個分支各在哪個象限內(nèi)?在每個象限內(nèi)，y隨x的增大怎樣變化?
這兩個問題由學(xué)生討論總結(jié)之后回答，教師板書：
(1)當(dāng) 時，雙曲線的兩分支位于一、三象限，y隨x的增大而減少;
從解析式中，也可以得出這個結(jié)論：xy=k，即x與y同號，因此，圖象在第一、三象限.
(2)當(dāng) 時，雙曲線的兩分支位于二、四象限，y隨x的增大而增大.
抓住機(jī)會，說明數(shù)與形的統(tǒng)一，也滲透了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法.體現(xiàn)了由特殊到一般的研究過程.
注意：同樣可以推出函數(shù) 的圖象的性質(zhì).
4、反比例函數(shù)的這一性質(zhì)與正比例函數(shù)的性質(zhì)有何異同?
通過這個問題使學(xué)生能把學(xué)過的相關(guān)知識有機(jī)地串聯(lián)起來，便于記憶和應(yīng)用.
5、反比例函數(shù)的簡單練習(xí)：
上面，我們討論了反比例函數(shù)的概念、圖像和性質(zhì)，下面我們再來看一個不同類型的例題：
例4、選擇題：
1、在同一坐標(biāo)系內(nèi)，函數(shù) 與 的圖象的交點(diǎn)個數(shù)為( ).
(A) 0個 (B) 1個 (C) 2個 (D)4個
2、若反比例函數(shù) 的圖象在它所在的象限內(nèi)，y隨x的增大而增大，則m的值是( )
(A)-2. (B)2. (C)±2. (D)以上結(jié)果都不對.
三、課堂小結(jié)：教師提問，學(xué)生思考回答：
1.什么是反比例函數(shù)?
2.反比例函數(shù)的圖像是什么樣的?
3.反比例函數(shù) 的性質(zhì)是什么?
4.命題方向及題型設(shè)置，反比例函數(shù)也是中考命題的主要考點(diǎn)，其圖像和性質(zhì)，以及其函數(shù)解析式的確定，常以填空題、選擇題出現(xiàn)，在低檔題中，近兩年各省、市的中考試卷中出現(xiàn)不少將反比例函數(shù)與一次函數(shù)、幾何知識、三角知識等綜合編擬的解答題，豐富了壓軸題的形式和內(nèi)容.
四、布置作業(yè)P80 練習(xí)1，2
五、板書設(shè)計
反比例函數(shù)及其圖像
引例：(1)例1： 例2： 例3：
例4：
1.反比例函數(shù)的圖象：
2.反比例函數(shù)的性質(zhì)
六、補(bǔ)充材料：
馬爾克廣場上的游戲
在世界著名的水都威尼司斯，有個馬爾克廣場.廣場的一端有一座寬82米的雄偉教堂.教堂的前面是一方開闊地.這片開闊地經(jīng)常吸引著四方游人到這里做一種奇特的游戲：把眼睛蒙上，然后從廣場的一端向另一端教堂走去，看誰能到達(dá)教堂的正前面!
奇怪的是，盡管這段距離只有175米，但卻沒有一名游客能幸運(yùn)地做到這一點(diǎn)!全都如下圖那般，走成了弧線，或左或右，偏斜到了一邊!
類似的情形也有很多，這與俗話說的鬼打墻類似.有許多人在沙漠或雪地里，由于迷失方向而在原地打圈子，這一切近乎玩笑般的遭遇，終于引起了科學(xué)家的注意.
公元1896年，挪威生理學(xué)家古德貝對閉眼打轉(zhuǎn)的問題進(jìn)行深入的探討.他搜集了大量的事例后分析說：這一切都是由于人自身兩條腿在作怪!長年累月養(yǎng)成的習(xí)慣，使每個人一只腳伸出的步子長一段微不足道的距離.而正是這一段很小的步差x，導(dǎo)致了這個人走出一個半徑為y的大圈子!
現(xiàn)在我們將這個過程數(shù)學(xué)化，研究一下x與y之間的函數(shù)關(guān)系.
假定某個兩腳踏線間相隔為d.很顯然，當(dāng)人在打圈子時，兩只腳實(shí)際上走出了兩個半徑相差為d的同心圓.設(shè)該人平均步長為1.那么，一方面這個人外腳比內(nèi)腳多走路程
另一方面，這段路程又等于這個人走一圈的步數(shù)與步差的乘積，
即：
對一般的人， 米， 米，代入得(單位米)
這就是所求的迷路人打圈子的半徑公式.是我們學(xué)過的反比例函數(shù)(圖象如下圖).今設(shè)迷路人兩腳步差為 毫米，僅此微小的差異，就足以使他在大約三公里的范圍內(nèi)繞圈子!
讓我們回到那個馬克爾廣場的游戲上來.我們先計算一下，當(dāng)人們閉起眼睛，從廣場一端中央的M點(diǎn)，要想抵達(dá)教堂CD，最小的弧線半徑應(yīng)該是多少?
如圖，注意到矩形ABCD邊BC=175(米)， (米).上述問題可以轉(zhuǎn)化成幾何中的命題：已知 與 .求 的半徑 的大小.
這就說,游人要想成功,他所走弧線半徑必須不小于394米.我們再來計算一下，要達(dá)到上述要求，游人的兩腳步差需要什么限制.
這表明游人的兩只腳步差必須小于 毫米，否則就難以成功.然而在閉眼的情況下兩腳這么小的步差一般人是達(dá)不到的，這就是在游戲中為什么沒有人能夠蒙上眼睛走到教堂前面的道理。