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初中數(shù)學(xué)公開課優(yōu)秀教案
導(dǎo)語：數(shù)學(xué)是美的，數(shù)學(xué)是文化中的文化，數(shù)學(xué)是科學(xué)的精髓，數(shù)學(xué)是人類智慧的精華，數(shù)學(xué)是亮麗風(fēng)景，數(shù)學(xué)是異草奇葩。以下是品才網(wǎng)pincai.com小編整理的初中數(shù)學(xué)公開課優(yōu)秀教案，歡迎閱讀參考。
圓和圓的位置關(guān)系
1、教材分析
(1)知識(shí)結(jié)構(gòu)
(2)重點(diǎn)、難點(diǎn)分析
重點(diǎn)：兩圓的位置關(guān)系和兩圓相交、相切的性質(zhì).它們是本節(jié)的主要內(nèi)容，是圓的重要概念性知識(shí)，也是今后研究圓與圓問題的基礎(chǔ)知識(shí).
難點(diǎn)：兩圓位置關(guān)系的判定與相交兩圓的連心線垂直平分兩圓的公共弦的性質(zhì)的運(yùn)用.由于兩圓位置關(guān)系有5種類型，特別是相離有外離和內(nèi)含，相切有外切和內(nèi)切，學(xué)生容易遺漏;而在相交圓的性質(zhì)應(yīng)用中，學(xué)生容易把“相交兩圓的公共弦垂直平分兩圓的連心線.”看成是真命題.
2、教法建議
本節(jié)內(nèi)容需要兩個(gè)課時(shí).第一課時(shí)主要研究圓和圓的位置關(guān)系;第二課時(shí)相交兩圓的性質(zhì).
(1)把課堂活動(dòng)設(shè)計(jì)的重點(diǎn)放在如何調(diào)動(dòng)學(xué)生的主體，讓學(xué)生觀察、分析、歸納概括，主動(dòng)獲得知識(shí);
(2)要重視圓的對(duì)稱美的教學(xué)，組織學(xué)生欣賞，在激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣中，獲得知識(shí)，提高能力;
(3)在教學(xué)中，以分類思想為指導(dǎo)，以數(shù)形結(jié)合為方法，貫串整個(gè)教學(xué)過程.
第一課時(shí) 圓和圓的位置關(guān)系
教學(xué)目標(biāo)：
1.掌握?qǐng)A與圓的五種位置關(guān)系的定義、性質(zhì)及判定方法;兩圓連心線的性質(zhì);
2.通過兩圓的位置關(guān)系，培養(yǎng)學(xué)生的分類能力和數(shù)形結(jié)合能力;
3.通過演示兩圓的位置關(guān)系，培養(yǎng)學(xué)生用運(yùn)動(dòng)變化的觀點(diǎn)來分析和發(fā)現(xiàn)問題的能力.
教學(xué)重點(diǎn)：
兩圓的五種位置與兩圓的半徑、圓心距的數(shù)量之間的關(guān)系.
教學(xué)難點(diǎn)：
兩圓位置關(guān)系及判定.
(一)復(fù)習(xí)、引出問題
1.復(fù)習(xí)：直線和圓有幾種位置關(guān)系?各是怎樣定義的?
(教師主導(dǎo)，學(xué)生回憶、回答)直線和圓有三種位置關(guān)系，即直線和圓相離、相切、相交.各種位置關(guān)系是通過直線與圓的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)來定義的
2.引出問題：平面內(nèi)兩個(gè)圓，它們作相對(duì)運(yùn)動(dòng)，將會(huì)產(chǎn)生什么樣的位置關(guān)系呢?
(二)觀察、分類，得出概念
1、讓學(xué)生觀察、分析、比較，分別得出兩圓：外離、外切、相交、內(nèi)切、內(nèi)含(包括同心圓)這五種位置關(guān)系，準(zhǔn)確給出描述性定義：
(1)外離：兩個(gè)圓沒有公共點(diǎn)，并且每個(gè)圓上的點(diǎn)都在另一個(gè)圓的外部時(shí)，叫做這兩個(gè)圓外離.(圖(1))
(2)外切：兩個(gè)圓有唯一的公共點(diǎn)，并且除了這個(gè)公共點(diǎn)以外，每個(gè)圓上的點(diǎn)都在另一個(gè)圓的外部時(shí)，叫做這兩個(gè)圓外切.這個(gè)唯一的公共點(diǎn)叫做切點(diǎn).(圖(2))
(3)相交：兩個(gè)圓有兩個(gè)公共點(diǎn)，此時(shí)叫做這兩個(gè)圓相交.(圖(3))
(4)內(nèi)切：兩個(gè)圓有唯一的公共點(diǎn)，并且除了這個(gè)公共點(diǎn)以外，一個(gè)圓上的點(diǎn)都在另一個(gè)圓的內(nèi)部時(shí)，叫做這兩個(gè)圓內(nèi)切.這個(gè)唯一的公共點(diǎn)叫做切點(diǎn).(圖(4))
(5)內(nèi)含：兩個(gè)圓沒有公共點(diǎn)，并且一個(gè)圓上的點(diǎn)都在另一個(gè)圓的內(nèi)部時(shí)，叫做這兩個(gè)圓內(nèi)含(圖(5)).兩圓同心是兩圓內(nèi)含的一個(gè)特例. (圖(6))
2、歸納：
(1)兩圓外離與內(nèi)含時(shí)，兩圓都無公共點(diǎn).
(2)兩圓外切和內(nèi)切統(tǒng)稱兩圓相切，即外切和內(nèi)切的共性是公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)唯一
(3)兩圓位置關(guān)系的五種情況也可歸納為三類：相離(外離和內(nèi)含);相交;相切(外切和內(nèi)切).
教師組織學(xué)生歸納，并進(jìn)一步考慮：從兩圓的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)考慮，無公共點(diǎn)則相離;有一個(gè)公共點(diǎn)則相切;有兩個(gè)公共點(diǎn)則相交.除以上關(guān)系外，還有其它關(guān)系嗎?可能不可能有三個(gè)公共點(diǎn)?
結(jié)論：在同一平面內(nèi)任意兩圓只存在以上五種位置關(guān)系.
(三)分析、研究
1、相切兩圓的性質(zhì).
讓學(xué)生觀察連心線與切點(diǎn)的關(guān)系，分析、研究，得到相切兩圓的連心線的性質(zhì)：
如果兩個(gè)圓相切，那么切點(diǎn)一定在連心線上.
這個(gè)性質(zhì)由圓的軸對(duì)稱性得到，有興趣的同學(xué)課下可以考慮如何對(duì)這一性質(zhì)進(jìn)行證明
2、兩圓位置關(guān)系的數(shù)量特征.
設(shè)兩圓半徑分別為R和r.圓心距為d，組織學(xué)生研究?jī)蓤A的五種位置關(guān)系，r和d之間有何數(shù)量關(guān)系.(圖形略)
兩圓外切
d=R+r; 兩圓內(nèi)切
d=R-r (R>r); 兩圓外離
d>R+r; 兩圓內(nèi)含
dr); 兩圓相交
R-r說明：注重“數(shù)形結(jié)合”思想的教學(xué).
(四)應(yīng)用、練習(xí)
例1： 如圖，⊙O的半徑為5厘米，點(diǎn)P是⊙O外一點(diǎn)，OP=8厘米
求：(1)以P為圓心作⊙P與⊙O外切，小圓⊙P的半徑是多少?
(2)以P為圓心作⊙P與⊙O內(nèi)切，大圓⊙P的半徑是多少?
解：
(1)設(shè)⊙P與⊙O外切與點(diǎn)A，則
PA=PO-OA
∴PA=3cm.
(2)設(shè)⊙P與⊙O內(nèi)切與點(diǎn)B，則
PB=PO+OB
∴PB=1 3cm.
例2：已知：如圖，△ABC中，∠C=90°，AC=12，BC=8，以AC為直徑作⊙O，以B為圓心，4為半徑作.
求證：⊙O與⊙B相外切.
證明：連結(jié)BO，∵AC為⊙O的直徑，AC=12，
∴⊙O的半徑
，且O是AC的中點(diǎn) ∴
，∵∠C=90°且BC=8， ∴
， ∵⊙O的半徑
，⊙B的半徑
， ∴BO=
，∴⊙O與⊙B相外切.
練習(xí)(P138)
(五)小結(jié)
知識(shí)：①兩圓的五種位置關(guān)系：外離、外切、相交、內(nèi)切、內(nèi)含;
②以及這五種位置關(guān)系下圓心距和兩圓半徑的數(shù)量關(guān)系;
③兩圓相切時(shí)切點(diǎn)在連心線上的性質(zhì).
能力：觀察、分析、分類、數(shù)形結(jié)合等能力.
思想方法：分類思想、數(shù)形結(jié)合思想.
(六)作業(yè)
教材P151中習(xí)題A組2，3，4題.
第二課時(shí) 相交兩圓的性質(zhì)
教學(xué)目標(biāo)
1、掌握相交兩圓的性質(zhì)定理;
2、掌握相交兩圓問題中常添的輔助線的作法;
3、通過例題的分析，培養(yǎng)學(xué)生分析問題、解決問題的能力;
4、結(jié)合相交兩圓連心線性質(zhì)教學(xué)向?qū)W生滲透幾何圖形的對(duì)稱美.
教學(xué)重點(diǎn)
相交兩圓的性質(zhì)及應(yīng)用.
教學(xué)難點(diǎn)
應(yīng)用軸對(duì)稱來證明相交兩圓連心線的性質(zhì)和準(zhǔn)確添加輔助線.
教學(xué)活動(dòng)設(shè)計(jì)
(一)圖形的對(duì)稱美
相切兩圓是以連心線為對(duì)稱軸的對(duì)稱圖形.相交兩圓具有什么性質(zhì)呢?
(二)
觀察、猜想、證明
1、觀察：同樣相交兩圓，也構(gòu)成對(duì)稱圖形，它是以連心線為對(duì)稱軸的軸對(duì)稱圖形.
2、猜想：“相交兩圓的連心線垂直平分公共弦”.
3、證明：
對(duì)A層學(xué)生讓學(xué)生寫出已知、求證、證明，教師組織;對(duì)B、C層在教師引導(dǎo)下完成.
已知：⊙O1和⊙O2相交于A，B.
求
證：Q1O2是AB的垂直平分線.
分析：要證明O1O2是AB的垂直平分線，只要證明O1O2上的點(diǎn)和線段AB兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等，于是想到連結(jié)O1A、O2A、O1B、O2B.
證明：連結(jié)O1A、O1B、 O2A、O2B，∵O1A=O1B，
∴O1點(diǎn)在AB的垂直平分線上.
又∵O2A=O2B，∴點(diǎn)O2在AB的垂直平分線上.
因此O1O2是AB的垂直平分線.
也可考慮利用圓的軸對(duì)稱性加以證明：
∵⊙Ol和⊙O2，是軸對(duì)稱圖形，∴直線O1O2是⊙Ol和⊙O2的對(duì)稱軸.
∴⊙Ol和⊙O2的公共點(diǎn)A關(guān)于直線O1O2的對(duì)稱點(diǎn)即在⊙Ol上又在⊙O2上.
∴A點(diǎn)關(guān)于直線O1O2的對(duì)稱點(diǎn)只能是B點(diǎn)，
∴連心線O1O2是AB的垂直平分線.
定理：相交兩圓的連心線垂直平分公共弦.
注意：相交兩圓連心線垂直平分兩圓的公共弦，而不是相交兩圓的公共弦垂直平分兩圓的連心線.
(三)應(yīng)用、反思
例1、已知兩個(gè)等圓⊙Ol和⊙O2相交于A，B兩點(diǎn)，⊙Ol經(jīng)O2。
求∠OlAB的度數(shù).
分析：由所學(xué)定理可知，O1O2是AB的垂直平分線，
又
⊙O1與⊙O2是兩個(gè)等圓，因此連結(jié)O1O2和AO2，AO1，△O1AO2構(gòu)成等邊三角形，同時(shí)可以推證⊙O l和⊙O2構(gòu)成的圖形不僅是以O(shè)1O2為對(duì)稱軸的軸對(duì)稱圖形，同時(shí)還是以AB為對(duì)稱軸的軸對(duì)稱圖形.從而可由
∠OlAO2=60°，推得∠OlAB=30°.
解：⊙O1經(jīng)過O
2，⊙O1與⊙O2是兩個(gè)等圓
∴OlA= O1O2= AO2
∴∠O1A O2=60°，
又AB⊥O1O2
∴∠OlAB =30°
.
例2、已知，如圖，A是⊙O l、⊙O2的一個(gè)交點(diǎn)，點(diǎn)P是O1O2的中點(diǎn)。過點(diǎn)A的直線MN垂直于PA，交⊙O l、⊙O2于M、N。
求證：AM=AN.
證明：過點(diǎn)Ol、O2分別作OlC⊥MN、O2D⊥MN，垂足為C、D，則OlC∥PA∥O2D，且AC=
AM，AD=
AN.
∵OlP= O2P ，∴AD=AM，∴AM=AN.
例
3、已知：如圖，⊙Ol與⊙O2相交于A、B兩點(diǎn)，C為⊙Ol上一點(diǎn)，AC交⊙O2于D，過B作直線EF交⊙Ol、⊙O2于E、F.
求證：EC∥DF
證明：連結(jié)AB
∵在⊙O2中∠F=∠CAB，
在⊙Ol中∠CAB=∠E，
∴∠F=∠E，∴EC∥DF.
反思：在解有關(guān)相交兩圓的問題時(shí)，常作出連心線、公共弦，或連結(jié)交點(diǎn)與圓心，從而把兩圓半徑，公共弦長(zhǎng)的一半，圓心距集中到一個(gè)三角形中，運(yùn)用三角形有關(guān)知識(shí)來解，或者結(jié)合相交弦定理，圓周角定理綜合分析求解.
(四)小結(jié)
知識(shí)：相交兩圓的性質(zhì)：相交兩圓的連心線垂直平分公共弦.該定理可以作為證明兩線垂直或證明線段相等的依據(jù).
能力與方法：①在解決兩圓相交的問題中常常需要作出兩圓的公共弦作為輔助線，使兩圓中的角或線段建立聯(lián)系，為證題創(chuàng)造條件，起到了“橋梁”作用;②圓的對(duì)稱性的應(yīng)用.
(五)作業(yè) 教材P152習(xí)題A組7、8、9題;B組1題.
探究活動(dòng)
問題1：已知AB是⊙O的直徑，點(diǎn)O1、O2、…、On在線段AB上，分別以O(shè)1、O2、…、On為圓心作圓，使⊙O1與⊙O內(nèi)切，⊙O2與⊙O1外切，⊙O3與⊙O2外切，…，⊙On與⊙On-1外切且與⊙O內(nèi)切.設(shè)⊙O的周長(zhǎng)等于C，⊙O1、⊙O2、…、⊙On的周長(zhǎng)分別為C1、C2、…、Cn.
(1)當(dāng)n=2時(shí)，判斷Cl+C2與C的大小關(guān)系;
(2)當(dāng)n=3時(shí)，判斷Cl+C2+ C3與C的大小關(guān)系;
(3)當(dāng)n取大于3的任一自然數(shù)時(shí)，Cl十C2十…十Cn與C的大小關(guān)系怎樣?證明你的結(jié)論.
提
示：假設(shè)⊙O、⊙O1、⊙O2、…、⊙On的半徑分別為r、rl、r2、…、rn，通過周長(zhǎng)計(jì)算，比較可得(1)Cl+C2=C;(2)Cl+C2+ C3=C;(3)Cl十C2十…十Cn=C.
問題2：有八個(gè)同等大小的圓形，其中七個(gè)有陰影的圓形都固定不動(dòng)，第八個(gè)圓形，緊貼另外七個(gè)無滑動(dòng)地滾動(dòng)，當(dāng)它繞完這些固定不動(dòng)的圓形一周，本身將旋轉(zhuǎn)了多少轉(zhuǎn)?
提示：1、實(shí)驗(yàn)：用硬幣作初步實(shí)驗(yàn);結(jié)果硬幣一共轉(zhuǎn)了4轉(zhuǎn).
2、分析：當(dāng)你把動(dòng)圓無滑動(dòng)地沿著
圓周長(zhǎng)的直線上滾動(dòng)時(shí)，這個(gè)動(dòng)圓是轉(zhuǎn)
轉(zhuǎn)，但是，這個(gè)動(dòng)圓是沿著弧線滾動(dòng)，那么方才的說法就不正確了.在我們這個(gè)題目中，那動(dòng)圓繞著相當(dāng)于它的圓周長(zhǎng)的
的弧線旋轉(zhuǎn)的時(shí)候，一共走過的不是
轉(zhuǎn);而是
轉(zhuǎn)，因此，它繞過六個(gè)這樣的弧形的時(shí)，就轉(zhuǎn)了
轉(zhuǎn)
初中數(shù)學(xué)公開課優(yōu)秀教案二
正多邊形的有關(guān)計(jì)算
教學(xué)設(shè)計(jì)示例1
教學(xué)目標(biāo)：
(1)會(huì)將正多邊形的邊長(zhǎng)、半徑、邊心距和中心角、周長(zhǎng)、面積等有關(guān)的計(jì)算問題轉(zhuǎn)化為解直角三角形的問題;
(2)鞏固學(xué)生解直角三角形的能力，培養(yǎng)學(xué)生正確迅速的運(yùn)算能力;
(3)通過正多邊形有關(guān)計(jì)算公式的推導(dǎo)，激發(fā)學(xué)生探索和創(chuàng)新.
教學(xué)重點(diǎn):
把正多邊形的有關(guān)計(jì)算問題轉(zhuǎn)化為解直角三角形的問題.
教學(xué)難點(diǎn):
正確地將正多邊形的有關(guān)計(jì)算問題轉(zhuǎn)化為解直角三角形的問題解決、綜合運(yùn)用幾何知識(shí)準(zhǔn)確計(jì)算.
教學(xué)活動(dòng)設(shè)計(jì):
(一)創(chuàng)設(shè)情境、觀察、分析、歸納結(jié)論
1、情境一：給出圖形.
問題1：正n邊形內(nèi)角的規(guī)律.
觀察：在圖形中，應(yīng)用以有的知識(shí)(多邊形內(nèi)角和定理，多邊形的每個(gè)內(nèi)角都相等)得出新結(jié)論.
教師組織學(xué)生自主觀察，學(xué)生回答.(正n邊形的每個(gè)內(nèi)角都等于
.)
2、情境二：給出圖形.
問題2：每個(gè)圖形的半徑，分別將它們分割成什么樣的三角形?它們有什么規(guī)律?
教師引導(dǎo)學(xué)生觀察，學(xué)生回答.
觀察：三角形的形狀，三角形的個(gè)數(shù).
歸納：正n邊形的n條半徑分正n邊形為n個(gè)全等的等腰三角形.
3、情境三：給出圖形.
問題3：作每個(gè)正多邊形的邊心距，又有什么規(guī)律?
觀察、歸納：這些邊心距又把這n個(gè)等腰三角形分成了個(gè)直角三角形，這些直角三角形也是全等的.
(二)定理、理解、應(yīng)用：
1、定理： 正n邊形的半徑和邊心距把正n邊形分成2n 個(gè)全等的直角三角形.
2、理解：定理的實(shí)質(zhì)是把正多邊形的問題向直角三角形轉(zhuǎn)化.
由于這些直角三角形的斜邊都是正n邊形的'半徑R，一條直角邊是正n邊形的邊心距rn，另一條直角邊是正n邊形邊長(zhǎng)an的一半，一個(gè)銳角是正n邊形中心角
的一半，即
，所以，根據(jù)上面定理就可以把正n邊形的有關(guān)計(jì)算歸結(jié)為解直角三角形問題.
3、應(yīng)用：
例1、已知正六邊形ABCDEF的半徑為R，求這個(gè)正六邊形的邊長(zhǎng)、周長(zhǎng)P6和面積S6.
教師引導(dǎo)學(xué)生分析解題思路：
n=6
=30°，又半徑為R
a6 、r6.
P6、S6.
學(xué)生完成解題過程，并關(guān)注學(xué)生解直角三角形的能力.
解：
作半徑OA、OB;作OG⊥AB，垂足為G，得Rt△OGB. ∵∠GOB=
，
∴a6 =2·Rsin30°=R，
∴P6=6·a6=6R，
∵r6=Rcos30°=
， ∴
. 歸納：如果用Pn表示正n邊形的周長(zhǎng)，由例1可知，正n邊形的面積S6=
Pn rn.
4、研究：(應(yīng)用例1的方法進(jìn)一步研究)
問題：已知圓的半徑為R，求它的內(nèi)接正三角形、正方形的邊長(zhǎng)、邊心距及面積.
學(xué)生以小組進(jìn)行研究，并初步歸納：
;
;
;
;
;
.
上述公式是運(yùn)用解直角三角形的方法得到的.
通過上式六公式看出，只要給定兩個(gè)條件，則正多邊形就完全確定了.例如：(1)圓的半徑或邊數(shù);(2)圓的半徑和邊心距;(3)邊長(zhǎng)及邊心距，就可以確定正多邊形的其它元素.
(三)小節(jié)
知識(shí)：定理、正三角形、正方形、正六邊形的元素的計(jì)算問題.
思想：轉(zhuǎn)化思想.
能力：解直角三角形的能力、計(jì)算能力;觀察、分析、研究、歸納能力.
(四)作業(yè)
歸納正三角形、正方形、正六邊形以及正n邊形的有關(guān)計(jì)算公式.
教學(xué)設(shè)計(jì)示例2
教學(xué)目標(biāo)：
(1)進(jìn)一步研究正多邊形的計(jì)算問題，解決實(shí)際應(yīng)用問題;
(2)通過正十邊形的邊長(zhǎng)a10與半徑R的關(guān)系的證明，學(xué)習(xí)邊計(jì)算邊推理的數(shù)學(xué)方法;
(3)通過解決實(shí)際問題，培養(yǎng)學(xué)生簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)建模能力;
(4)培養(yǎng)學(xué)生用數(shù)學(xué)意識(shí)，滲透理論聯(lián)系實(shí)際、實(shí)踐論的觀點(diǎn).
教學(xué)重點(diǎn):
應(yīng)用正多邊形的基本計(jì)算圖解決實(shí)際應(yīng)用問題及代數(shù)計(jì)算的證明方法.
教學(xué)難點(diǎn):
例3的證明方法.
教學(xué)活動(dòng)設(shè)計(jì)：
(一)知識(shí)回顧
(1)方法：運(yùn)用將正多邊形分割成三角形的方法，把正多邊形有關(guān)計(jì)算轉(zhuǎn)化為解直角三角形問題.
(2)知識(shí)：正三角形、正方形、正六邊形的有關(guān)計(jì)算問題，正多邊形的有關(guān)計(jì)算.
;
;
;
;
;
.
組織學(xué)生填寫教材P165練習(xí)中第2題的表格.
(二)正多邊形的應(yīng)用
正
多邊形的有關(guān)計(jì)算方法是基本的幾何計(jì)算知識(shí)之一，掌握這些知識(shí)，一方面可以為學(xué)生進(jìn)一步學(xué)習(xí)打好基礎(chǔ)，另一方面，這些知識(shí)在生產(chǎn)和生活中常常會(huì)用到，掌握后對(duì)學(xué)生參加實(shí)踐活動(dòng)具有實(shí)用意義.
例2、在一種聯(lián)合收割機(jī)上，撥禾輪的側(cè)面是正五邊形，測(cè)得這個(gè)正五邊形的邊長(zhǎng)是48cm，求它的半徑R5和邊心距r5(精確到0.1cm).
解：設(shè)正五邊形為ABCDE，它的中心為點(diǎn)O，連接OA，作OF⊥AB，垂足為F，則OA=R5，OF=r5，∠AOF=
. ∵AF=
(cm)，∴R5=
(cm). r5=
(cm).
答：這個(gè)正多邊形的半徑約為40.8cm，邊心距約為33.0cm
建議：①組織學(xué)生，使學(xué)生主動(dòng)參與教學(xué);②滲透簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)建模思想和實(shí)際應(yīng)用意識(shí);③對(duì)與本題除解直角三角形知識(shí)外，還要主要學(xué)生的近似計(jì)算能力的培養(yǎng).
以小組的學(xué)習(xí)形式，每個(gè)小組自己舉一個(gè)實(shí)際生活中的例子加以研究，班內(nèi)交流.
例3、已知：正十邊形的半徑為R，求證：它的邊長(zhǎng)
.
教師引導(dǎo)學(xué)生：
(1)∠AOB=?
(2)在△OAB中，∠A與∠B的度數(shù)?
(3)如果BM平分∠OBA交OA于M，你發(fā)現(xiàn)圖形中相等的線段有哪些?你發(fā)現(xiàn)圖中三角形有什么關(guān)系?
(4)已知半徑為R，你能不通過解三角形的方法求出AB嗎?怎么計(jì)算?
解：如圖，設(shè)AB=a10.作∠OBA的平分線BM，交OA于點(diǎn)M，則
∠AOB=∠1=∠2=36°，∠OAB=∠3=72°.
∴OM=MB=AB= a10.
△ OAB∽△BAM
OA:AB=BA:AM，即R :a10= a10:(R- a10)，整理，得
，
(取正根). 由例3的結(jié)論可得
.
回顧：黃金分割線段.AD2=DC·AC，也就是說點(diǎn)D將線段AC分為兩部分，其中較長(zhǎng)的線段AD是較小線段CD與全線段AC的比例中項(xiàng).頂角36°角的等腰三角形的底邊長(zhǎng)是它腰長(zhǎng)的黃金分割線段.
反思：解決方法.在推導(dǎo)a10與R關(guān)系時(shí)，輔助線角平分線是怎么想出來的.解決方法是復(fù)習(xí)等腰三角形的性質(zhì)、判定及相似三角形的有關(guān)知識(shí).
練習(xí)P.165中練習(xí)1
(三)總結(jié)
(1)應(yīng)用正多邊形的有關(guān)計(jì)算解決實(shí)際問題;
(2)綜合代數(shù)列方程的方法證明了
.
(四)作業(yè)
教材P173中8、9、10、11、12.
探究活動(dòng)
已知下列圖形分別為正方形、正五邊形、正六邊形，試計(jì)算角
、
、
的大小.
探究它們存在什么規(guī)律?你能證明嗎?
(提示：
.)
初中數(shù)學(xué)公開課優(yōu)秀教案三
切線長(zhǎng)定理
1、教材分析
(1)知識(shí)結(jié)構(gòu)
(2)重點(diǎn)、難點(diǎn)分析
重點(diǎn)：切線長(zhǎng)定理及其應(yīng)用.因切線長(zhǎng)定理再次體現(xiàn)了圓的軸對(duì)稱性，它為證明線段相等、角相等、弧相等、垂直關(guān)系等提供了理論依據(jù)，它屬于工具知識(shí)，經(jīng)常應(yīng)用，因此它是本節(jié)的重點(diǎn).
難點(diǎn)：與切線長(zhǎng)定理有關(guān)的證明和計(jì)算問題.如120頁(yè)練習(xí)題中第3題，它不僅應(yīng)用切線長(zhǎng)定理，還用到解方程組的知識(shí)，是代數(shù)與幾何的綜合題，學(xué)生往往不能很好的把知識(shí)連貫起來.
2、教法建議
本節(jié)內(nèi)容需要一個(gè)課時(shí).
(1)在教學(xué)中，組織學(xué)生自主觀察、猜想、證明，并深刻剖析切線長(zhǎng)定理的基本圖形;對(duì)重要的結(jié)論及時(shí)總結(jié);
(2)在教學(xué)中，以“觀察——猜想——證明——剖析——應(yīng)用——?dú)w納”為主線，開展在教師組織下，以學(xué)生為主體，活動(dòng)式教學(xué).
教學(xué)目標(biāo)
1.理解切線長(zhǎng)的概念，掌握切線長(zhǎng)定理;
2.通過對(duì)例題的分析，培養(yǎng)學(xué)生分析總結(jié)問題的習(xí)慣，提高學(xué)生綜合運(yùn)用知識(shí)解題的能力，培養(yǎng)數(shù)形結(jié)合的思想.
3.通過對(duì)定理的猜想和證明，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，調(diào)動(dòng)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，樹立科學(xué)的學(xué)習(xí)態(tài)度.
教學(xué)重點(diǎn):
切線長(zhǎng)定理是教學(xué)重點(diǎn)
教學(xué)難點(diǎn):
切線長(zhǎng)定理的靈活運(yùn)用是教學(xué)難點(diǎn)
教學(xué)過程設(shè)計(jì):
(一)觀察、猜想、證明，形成定理
1、
切線長(zhǎng)的概念.
如圖，P是⊙O外一點(diǎn)，PA，PB是⊙O的兩條切線，我們把線段PA，PB叫做點(diǎn)P到⊙O的.切線長(zhǎng).
引導(dǎo)學(xué)生理解：切線和切線長(zhǎng)是兩個(gè)不同的概念，切線是直線，不能度量;切線長(zhǎng)是線段的長(zhǎng)，這條線段的兩個(gè)端點(diǎn)分別是圓外一點(diǎn)和切點(diǎn)，可以度量.
2、觀察
利用電腦變動(dòng)點(diǎn)P 的位置，觀察圖形的特征和各量之間的關(guān)系.
3、
猜想
引導(dǎo)學(xué)生直觀判斷，猜想圖中PA是否等于PB. PA=PB.
4、證明猜想，形成定理.
猜想是否正確。需要證明.
組織學(xué)生分析證明方法.關(guān)鍵是作出輔助線OA，OB，要證明PA=PB.
想一想：根據(jù)圖形，你還可以得到什么結(jié)論?
∠OPA=∠OPB(如圖)等.
切線長(zhǎng)定理：從圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線，它們的切線長(zhǎng)相等，圓心和這一點(diǎn)的連線平分兩條切線的夾角.
5、歸納：
把前面所學(xué)的切線的5條性質(zhì)與切線長(zhǎng)定理一起歸納切線的性質(zhì)
6、切線長(zhǎng)定理的基本圖形研究
如圖，
PA，PB是⊙O的兩條切線，A，B為切點(diǎn).直線OP交⊙O于點(diǎn)D，E，交AP于C
(1)寫出圖中所有的垂直關(guān)系;
(2)寫出圖中所有的全等三角形;
(3)寫出圖中所有的相似三角形;
(4)寫出圖中所有的等腰三角形.
說明：對(duì)基本圖形的深刻研究和認(rèn)識(shí)是在學(xué)習(xí)幾何中關(guān)鍵，它是靈活應(yīng)用知識(shí)的基礎(chǔ).
(二)應(yīng)用、歸納、反思
例1、已知：
如圖，P為⊙O外一點(diǎn)，PA，PB為⊙O的切線，
A和B是切點(diǎn)，BC是直徑.
求證：AC∥OP.
分析：從條件想，由P是⊙O外一點(diǎn)，PA、PB為⊙O的切線，A，B是切點(diǎn)可得PA=PB，∠APO=∠BPO，又由條件BC是直徑，可得OB=OC，由此聯(lián)想到與直徑有關(guān)的定理“垂徑定理”和“直徑所對(duì)的圓周角是直角”等.于是想到可能作輔助線AB.
從結(jié)論想，要證AC∥OP，如果連結(jié)AB交OP于O，轉(zhuǎn)化為證CA⊥AB，OP ⊥AB，或從OD為△ABC的中位線來考慮.也可考慮通過平行線的判定定理來證，可獲得多種證法.
證法一.如圖.連結(jié)AB.
PA，PB分別切⊙O于A，B
∴PA=PB∠APO=∠BPO
∴ OP ⊥AB
又∵BC為⊙O直徑
∴AC⊥AB
∴AC∥OP (學(xué)生板書)
證法二.
連結(jié)AB，交OP于D
PA，PB分別切⊙O于A、B
∴PA=PB∠APO=∠BPO
∴AD=BD
又∵BO=DO
∴OD是△ABC的中位線
∴AC∥OP
證法三.連結(jié)AB，設(shè)OP與AB弧交于點(diǎn)E
PA，PB分別切⊙O于A、B
∴PA=PB
∴ OP ⊥AB
∴
=
∴∠C=∠POB
∴AC∥OP
反思：
教師引導(dǎo)學(xué)生比較以上證法，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，培養(yǎng)學(xué)生靈活應(yīng)用知識(shí)的能力.
例2、 圓的外切四邊形的兩組對(duì)邊的和相等.
(分析和解題略)
反思：(1)例3事實(shí)上是圓外切四邊形的一個(gè)重要性質(zhì)，請(qǐng)學(xué)生記住結(jié)論.(2)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)：對(duì)角互補(bǔ).
P120練習(xí)：
練習(xí)1 填空
如圖,
已知⊙O的半徑為3厘米，PO=6厘米，PA，PB分別切⊙O于A，B，則PA=_______，∠APB=________
練習(xí)2 已知：在△ABC中，BC=14厘米，AC=9厘米，AB=13厘米，它的內(nèi)切圓分別和BC，AC，AB切于點(diǎn)D，E，F(xiàn)，求AF，AD和CE的長(zhǎng).
分析：設(shè)各切線長(zhǎng)AF，BD和CE分別為x厘米，y厘米，z厘米.后列出關(guān)于x , y，z的方程組，解方程組便可求出結(jié)果.
(解略)
反思：解這個(gè)題時(shí)，除了要用三角形內(nèi)切圓的概念和切線長(zhǎng)定理之外，還要用到解方程組的知識(shí)，是一道綜合性較強(qiáng)的計(jì)算題.通過對(duì)本題的研究培養(yǎng)學(xué)生的綜合應(yīng)用知識(shí)的能力.
(三)小結(jié)
1、
提出問題學(xué)生歸納
(1)這節(jié)課學(xué)習(xí)的具體內(nèi)容;
(2)學(xué)習(xí)用的數(shù)學(xué)思想方法;
(3)應(yīng)注意哪些概念之間的區(qū)別?
2、歸納基本圖形的結(jié)論
3、學(xué)習(xí)了用代數(shù)方法解決幾何問題的思想方法.
(四)作業(yè)
教材P131習(xí)題7.4A組1.(1)，2，3，4.B組1題.
探究活動(dòng)
圖中找錯(cuò)
你能找出(圖1)與(圖2)的錯(cuò)誤所在嗎?
在圖2中，P1A為⊙O1和⊙O3的切線、P1B為⊙O1和⊙O2的切線、P2C為⊙O2和⊙O3的切線.
提示：在圖1中，連結(jié)PC、PD，則PC、PD都是圓的直徑，從圓上一點(diǎn)只能作一條直徑，所以此圖是一張錯(cuò)圖，點(diǎn)O應(yīng)在圓上.
在圖2中，設(shè)P1A=P1B=a，P2B=P2C=b，P3A=P3C=c，則有
a= P1A= P1P3+P3A= P1P3+ c �、�
c= P3C= P2P3+P3A= P2P3+ b �、�
a= P1B= P1P2+P2B= P1P2+ b �、�
將②代人①式得
a = P1P3+(P2P3+ b)= P1P3+P2P3+ b，
∴a-b= P1P3+P2P3
由③得a-b= P1P2得
∴P1P2= P2P3+ P1P3
∴P1、P 2 、P3應(yīng)重合，故圖2是錯(cuò)誤的.
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