高中數(shù)學常用思想方法

　　同學們在解決數(shù)學問題時，都是將復雜的、困難的問題轉換成簡單的、熟悉的，也就是將實際問題轉化為數(shù)學問題，以下是小編整理的高中數(shù)學常用思想方法，希望對大家有所幫助。

　　高中數(shù)學常用思想方法

　　1、函數(shù)與方程的思想

　　著名數(shù)學家克萊因說“一般受教育者在數(shù)學課上應該學會的重要事情是用變量和函數(shù)來思考”。一個學生僅僅學習了函數(shù)的知識，他在解決問題時往往是被動的，而建立了函數(shù)思想，才能主動地去思考一些問題。

　　函數(shù)是高中代數(shù)內(nèi)容的主干，函數(shù)思想貫穿于高中代數(shù)的全部內(nèi)容，函數(shù)思想是對函數(shù)內(nèi)容在更高層次上的抽象、概括與提煉，是從函數(shù)各部分內(nèi)容的內(nèi)在聯(lián)系和整體角度來考慮問題，研究問題和解決問題。

　　所謂方程的思想就是突出研究已知量與未知量之間的等量關系，通過設未知數(shù)、列方程或方程組，解方程或方程組等步驟，達到求值目的解題思路和策略，它是解決各類計算問題的基本思想，是運算能力的基礎。

　　函數(shù)和方程、不等式是通過函數(shù)值等于零、大于零或小于零而相互關聯(lián)的，它們之間既有區(qū)別又有聯(lián)系。函數(shù)與方程的思想，既是函數(shù)思想與方程思想的體現(xiàn)，也是兩種思想綜合運用的體現(xiàn)，是研究變量與函數(shù)、相等與不等過程中的基本數(shù)學思想。

　　高考把函數(shù)與方程的思想作為七種思想方法的重點來考查，使用選擇題和填空題考查函數(shù)與方程的思想的基本運用，而在解答題中，則從更深的層次，在知識網(wǎng)絡的交匯處，從思想方法與相關能力的關系角度進行綜合考查。

　　在解題時，要學會思考這些問題：(1)是不是需要把字母看作變量?(2)是不是需要把代數(shù)式看作函數(shù)?如果是函數(shù)它具有哪些性質?(3)是不是需要構造一個函數(shù)把表面上不是函數(shù)的問題化歸為函數(shù)問題?(4)能否把一個等式轉化為一個方程?對這個方程的根有什么要求?……

　　2、數(shù)形結合的思想

　　數(shù)學研究的對象是數(shù)量關系和空間形式，即“數(shù)”與“形”兩個方面�！皵�(shù)”與“形”兩者之間并不是孤立的，而是有著密切的聯(lián)系。數(shù)量關系的研究可以轉化為圖形性質的研究，反之，圖形性質的研究可以轉化為數(shù)量關系的研究，這種解決數(shù)學問題過程中“數(shù)”與“形”相互轉化的研究策略，即是數(shù)形結合的思想。

　　數(shù)形結合的思想，在數(shù)學的幾乎全部的知識中，處處以數(shù)學對象的直觀表象及深刻精確的數(shù)量表達這兩方面給人以啟迪，為問題的解決提供簡捷明快的途徑。它的運用，往往展現(xiàn)出“柳暗花明又一村”般的數(shù)形和諧完美結合的境地。華羅庚先生曾作過精辟的論述：“數(shù)與開形，本是相倚依，焉能分作兩邊飛。數(shù)缺形時少直覺，形少數(shù)時難人微，數(shù)形結合百般好，隔裂分家萬事非。切莫忘，幾何代數(shù)統(tǒng)一體，永遠聯(lián)系切莫離�！�

　　數(shù)形結合既是一個重要的數(shù)學思想，也是一種常用的解題策略。一方面，許多數(shù)量關系的抽象概念和解析式，若賦予幾何意義，往往變得非常直觀形象;另一方面，一些圖形的屬性又可通過數(shù)量關系的研究，使得圖形的性質更豐富、更精準、更深刻。這種“數(shù)”與“形”的相互轉換，相互滲透，不僅可以使一些題目的解決簡捷明快，同時還可大大開拓我們的解題思路�？梢赃@樣說，數(shù)形結合不僅是探求思路的“慧眼”，而且是深化思維的有力“杠桿”。

　　由“形”到“數(shù)”的轉化，往往比較明顯，而由“數(shù)”到“形”的轉化卻需要轉化的意識。因此，數(shù)形結合的思想的使用往往偏重于由“數(shù)”到“形”的轉化。

　　在高考中，選擇題和填空題這兩種題型的特點(只需寫出結果而無需寫出過程)，為考查數(shù)形結合的思想提供了方便，能突出考查考生將復雜的數(shù)量關系問題轉化為直觀的幾何圖形問題來解決的意識。而在解答題中，考慮到推理論證的嚴謹性，對數(shù)量關系問題的研究仍突出代數(shù)的方法而不是提倡使用幾何的方法，解答題中對數(shù)形結合的思想的考查以由“數(shù)”到“形”的轉化為主。

　　3、分類與整合的思想

　　解題時，我們常常遇到這樣一種情況，解到某一步之后，不能再以統(tǒng)一方法，統(tǒng)一的式子繼續(xù)進行了，因為這時被研究的問題包含了多種情況，這就必須在條件所給出的總區(qū)域內(nèi)，正確劃分若干個子區(qū)域，然后分別在各個子區(qū)域內(nèi)進行解題，當分類解決完這個問題后，還必須把它們總合在一起，因為我們研究的畢竟是這個問題的全體，這就是分類與整合的思想。有分有合，先分后合，不僅是分類與整合的思想解決問題的主要過程，也是這種思想方法的本質屬性。

　　高考將分類與整合的思想放在比較重要的位置，并以解答題為主進行考查，考查時要求考生理解什么樣的問題需要分類研究，為什么要分類，如何分類以及分類后如何研究與最后如何整合。特別注意引起分類的原因，我們必須相當熟悉，有些概念就是分類定義的，如絕對值的概念、整數(shù)分為奇數(shù)偶數(shù)等，有些運算法則和公式是分類給出的，例如等比數(shù)列的求和公式就分為q=1和q≠1兩種情況，對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性就分為a>1，0

　　高考對分類與整合的思想的考查往往集中在含有參數(shù)的解析式，包括函數(shù)問題，數(shù)列問題和解析幾何問題等。此外，排列組合的問題，概率統(tǒng)計的問題也考查分類與整合的思想。隨著新課程高考在全國的實施，在新增內(nèi)容中考查分類與整合的思想，竊以為，是今后幾年高考命題的重點之一。

　　4、化歸與轉化的思想

　　將未知解法或難以解決的問題，通過觀察、分析、類比、聯(lián)想等思維過程，選擇運用恰當?shù)臄?shù)學方法進行變換，化歸為在已知知識范圍內(nèi)已經(jīng)解決或容易解決的問題的思想叫做化歸與轉化的思想�；瘹w與轉化思想的實質是揭示聯(lián)系，實現(xiàn)轉化。

　　除極簡單的數(shù)學問題外，每個數(shù)學問題的解決都是通過轉化為已知的問題實現(xiàn)的。從這個意義上講，解決數(shù)學問題就是從未知向已知轉化的過程�；瘹w與轉化的思想是解決數(shù)學問題的根本思想，解題的過程實際上就是一步步轉化的過程。數(shù)學中的轉化比比皆是，如未知向已知轉達化，復雜問題向簡單問題轉化，新知識向舊知識的轉化，命題之間的轉化，數(shù)與形的轉化，空間向平面的轉化，高維向低維轉化，多元向一元轉化，函數(shù)與方程的轉化等，都是轉化思想的體現(xiàn)。

　　轉化有等價轉化和非等價轉化。等價轉化前后是充要條件，所以盡可能使轉化具有等價性;在不得已的情況下，進行不等價轉化，應附加限制條件，以保持等價性，或對所得結論進行必要的驗證。

　　熟練、扎實地掌握基礎知識、基本技能和基本方法是騍轉化的基礎;豐富的聯(lián)想、機敏細微的觀察、比較、類比是實現(xiàn)轉化的橋梁;培養(yǎng)訓練自己自覺的化歸與轉化意識需要對定理、公式、法則有本質上的深刻理解和對典型習題的總結和提煉，要積極主動有意識地去發(fā)現(xiàn)事物之間的本質聯(lián)系。有人認為“抓基礎，重轉化”是學好中學數(shù)學的金鑰匙，說的也不無道理。

　　5、特殊與一般的思想

　　由特殊到一般，由一般到特殊，是人們認識世界的基本方法之一。數(shù)學研究也不例外，由特殊到一般，由一般到特殊的研究數(shù)學問題的基本認識過程，就是數(shù)學研究中的特殊與一般的思想。

　　我們對公式、定理、法則的學習往往都是從特殊開始，通過總結歸納得出來的，證明后，又使用它們來解決相關的數(shù)學問題。在數(shù)學中經(jīng)常使用的歸納法，演繹法就是特殊與一般的思想的集中體現(xiàn)。分析歷年的高考試題，考查特殊與一般的思想的題比比皆是，有的考查利用一般歸納法進行猜想，有的通過構造特殊函數(shù)、特殊數(shù)列，尋找特殊點，確定特殊位置，利用特殊值、特殊方程等，研究解決一般問題、抽象問題、運動變化的問題等。隨著新教材的全面推廣，高考以新增內(nèi)容為素材，突出考查特殊與一般的思想必然成為今后命題改革的方向。

　　6、有限與無限的思想

　　有限與無限并不是一新東西，雖然我們開始學習的數(shù)學都是有限的教學，但其中也包含有無限的成分，只不過沒有進行深入的研究。在學習有關數(shù)及其運算的過程中，對自然數(shù)、整數(shù)、有理數(shù)、實數(shù)、復數(shù)的學習都是有限個數(shù)的運算，但實際上各數(shù)集內(nèi)元素的個數(shù)都是無限的。在解析幾何中，還學習過拋物線的漸近線，已經(jīng)開始有極限的思想體現(xiàn)在其中。數(shù)列的極限和函數(shù)的極限集中體現(xiàn)了有限與無限的思想。使用極限的思想解決數(shù)學問題，比較明顯的是立體幾何中求球的體積和表面積，采用無限分割的方法來解決，實際上是先進行有限次分割，然后再求和求極限，這是典型的有限與無限的思想的應用。

　　函數(shù)是對運動變化的動態(tài)事物的描述，體現(xiàn)了變量數(shù)學在研究客觀事物中的重要作用。導數(shù)是對事物變化快慢的一種描述，并由此可進一步處理和解決函數(shù)的增減、極大、極小、最大、最小等實際問題，是研究客觀事物變化率和最優(yōu)化問題的有力工具。

　　高考中對有限與無限的思想的考查才剛剛起步并且往往是在考查其他數(shù)學思想和方法的過程中同時考查有限與無限思想。例如，在使用由特殊到一般的歸納思維時，含有有限與無限的思想;在使用數(shù)學歸納法證明時，解決的是無限的問題，體現(xiàn)的是有限與無限的思想，等等。隨著對新增內(nèi)容的考查的逐步深入，必將加強對有限與無限的思想的考查，設計出突出體現(xiàn)出有限與無限的思想的新穎試題。

　　7、或然與必然的思想

　　隨機現(xiàn)象有兩個最基本的特征，一是結果的隨機性，即重復同樣的試驗，所得到的結果并不相同，以至于在試驗之前不能預料試驗的結果;二是頻率的穩(wěn)定性，即在大量重復試驗中，每個試驗結果發(fā)生的頻率“穩(wěn)定”在一個常數(shù)附近。了解一個隨機現(xiàn)象就要知道這個隨機現(xiàn)象中所有可能出現(xiàn)的結果，知道每個結果出現(xiàn)的概率，知道這兩點就說對這個隨機現(xiàn)象研究清楚了。概率研究的是隨機現(xiàn)象，研究的過程是在“偶然”中尋找“必然”，然后再用“必然”的規(guī)律去解決“偶然”的問題，這其中所體現(xiàn)的數(shù)學思想就是或然與必然的思想。

　　隨著新教材的推廣，高考中對概率內(nèi)容的考查已放在了重要的位置。通過對等可能性事件的概率，互斥事件有一個發(fā)生的概率、相互獨立事件同時發(fā)生的概率、n次獨立重復試驗恰相好有k次發(fā)生的概率、隨機事件的分布列與數(shù)學期望等重點內(nèi)容的考查，考查基本概念和基本方法，考查在解決實際應用問題中或然與必然的辯證關系。

　　概率問題，無論屬于哪一種類型，所研究的都是隨機事件中“或然”與“必然”的辯證關系，在“或然”中尋找“必然”的規(guī)律。

　　高中數(shù)學中的思想方法

　　第一：函數(shù)與方程思想

　�。�1）函數(shù)思想是對函數(shù)內(nèi)容在更高層次上的抽象，概括與提煉，在研究方程、不等式、數(shù)列、解析幾何等其他內(nèi)容時，起著重要作用

　�。�2）方程思想是解決各類計算問題的基本思想，是運算能力的基礎

　　高考把函數(shù)與方程思想作為七種重要思想方法重點來考查

　　第二：數(shù)形結合思想

　　（1）數(shù)學研究的對象是數(shù)量關系和空間形式，即數(shù)與形兩個方面

　　（2）在一維空間，實數(shù)與數(shù)軸上的點建立一一對應關系

　　在二維空間，實數(shù)對與坐標平面上的點建立一一對應關系

　　數(shù)形結合中，選擇、填空側重突出考查數(shù)到形的轉化，在解答題中，考慮推理論證嚴密性，突出形到數(shù)的轉化

　　第三：分類與整合思想

　�。�1）分類是自然科學乃至社會科學研究中的基本邏輯方法

　　（2）從具體出發(fā)，選取適當?shù)姆诸悩藴?/p>

　　（3）劃分只是手段，分類研究才是目的

　　（4）有分有合，先分后合，是分類整合思想的本質屬性

　�。�5）含字母參數(shù)數(shù)學問題進行分類與整合的研究，重點考查學生思維嚴謹性與周密性

　　第四：化歸與轉化思想

　�。�1）將復雜問題化歸為簡單問題，將較難問題化為較易問題，將未解決問題化歸為已解決問題

　�。�2）靈活性、多樣性，無統(tǒng)一模式，利用動態(tài)思維，去尋找有利于問題解決的變換途徑與方法

　�。�3）高考重視常用變換方法：一般與特殊的轉化、繁與簡的轉化、構造轉化、命題的等價轉化

　　第五：特殊與一般思想

　�。�1）通過對個例認識與研究，形成對事物的認識

　�。�2）由淺入深，由現(xiàn)象到本質、由局部到整體、由實踐到理論

　�。�3）由特殊到一般，再由一般到特殊的反復認識過程

　�。�4）構造特殊函數(shù)、特殊數(shù)列，尋找特殊點、確立特殊位置，利用特殊值、特殊方程

　　（5）高考以新增內(nèi)容為素材，突出考查特殊與一般思想必成為命題改革方向

　　第六：有限與無限的思想

　�。�1）把對無限的研究轉化為對有限的研究，是解決無限問題的必經(jīng)之路

　�。�2）積累的解決無限問題的經(jīng)驗，將有限問題轉化為無限問題來解決是解決的方向

　�。�3）立體幾何中求球的表面積與體積，采用分割的方法來解決，實際上是先進行有限次分割，再求和求極限，是典型的有限與無限數(shù)學思想的應用

　�。�4）隨著高中課程改革，對新增內(nèi)容考查深入，必將加強對有限與無限的考查

　　第七：或然與必然的思想

　�。�1）隨機現(xiàn)象兩個最基本的特征，一是結果的隨機性，二是頻率的穩(wěn)定性

　�。�2）偶然中找必然，再用必然規(guī)律解決偶然

　�。�3）等可能性事件的概率、互斥事件有一個發(fā)生的概率、相互獨立事件同時發(fā)生的概率、獨立重復試驗、隨機事件的分布列、數(shù)學期望是考查的重點

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