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《完全平方數(shù)特征》知識點(diǎn)總結(jié)
在現(xiàn)實(shí)學(xué)習(xí)生活中，看到知識點(diǎn)，都是先收藏再說吧！知識點(diǎn)也可以理解為考試時會涉及到的知識，也就是大綱的分支。哪些知識點(diǎn)能夠真正幫助到我們呢？下面是小編為大家收集的《完全平方數(shù)特征》知識點(diǎn)總結(jié)，希望能夠幫助到大家。
《完全平方數(shù)特征》知識點(diǎn)總結(jié)
完全平方數(shù)特征：
1.末位數(shù)字只能是：0、1、4、5、6、9;反之不成立。
2.除以3余0或余1;反之不成立。
3.除以4余0或余1;反之不成立。
4.約數(shù)個數(shù)為奇數(shù);反之成立。
5.奇數(shù)的平方的十位數(shù)字為偶數(shù);反之不成立。
6.奇數(shù)平方個位數(shù)字是奇數(shù);偶數(shù)平方個位數(shù)字是偶數(shù)。
7.兩個相臨整數(shù)的平方之間不可能再有平方數(shù)。
平方差公式：X2-2=(X-)(X+)
完全平方和公式：(X+)2=X2+2X+2
完全平方差公式：(X-)2=X2-2X+2
經(jīng)典例題：
例1、一個自然數(shù)減去45及加上44都仍是完全平方數(shù)，求此數(shù)。
解：設(shè)此自然數(shù)為x，依題意可得
x-45=^2................(1)
x+44=n^2................(2)(,n為自然數(shù))
(2)-(1)可得 n^2-^2=89, (n+)(n-)=89
但89為質(zhì)數(shù)，它的正因子只能是1與89，于是。解之，得n=45。代入(2)得。故所求的自然數(shù)是1981。
例2、求證：四個連續(xù)的整數(shù)的積加上1，等于一個奇數(shù)的平方。
分析：設(shè)四個連續(xù)的整數(shù)為n,(n+1),(n+2),(n+3)，其中n為整數(shù)。欲證
n(n+1)(n+2)(n+3)+1是一奇數(shù)的平方，只需將它通過因式分解而變成一個奇數(shù)的平方即可。
證明：設(shè)這四個整數(shù)之積加上1為，則
=n(n+1)(n+2)(n+3)+1=(n^2+3n+1)^2=[n(n+1)+(2n+1)]^2
而n(n+1)是兩個連續(xù)整數(shù)的積，所以是偶數(shù);又因?yàn)?n+1是奇數(shù)，因而n(n+1)+2n+1是奇數(shù)。這就證明了是一個奇數(shù)的平方。
《完全平方數(shù)特征》知識點(diǎn)總結(jié)
一、完全平方數(shù)的定義
一個整數(shù)，如果它可以表示成某個整數(shù)的平方的形式，那么這個數(shù)就叫做完全平方數(shù)。例如，12=1，22=4，32=9，42=16，...等，這些數(shù)都是完全平方數(shù)。
二、完全平方數(shù)的特征
末位特征：
如果一個數(shù)的末位是0或1，那么這個數(shù)一定不是完全平方數(shù)。
如果一個數(shù)的末位是2、3、7、8，那么這個數(shù)一定不是完全平方數(shù)的偶數(shù)倍。
如果一個數(shù)的末位是4或9，那么這個數(shù)可能是完全平方數(shù)，也可能是完全平方數(shù)的奇數(shù)倍。
如果一個數(shù)的末位是5或6，那么這個數(shù)一定是完全平方數(shù)的偶數(shù)倍。
數(shù)的奇偶性特征：
奇數(shù)的平方還是奇數(shù)，偶數(shù)的平方還是偶數(shù)。
數(shù)的質(zhì)因數(shù)分解特征：
一個完全平方數(shù)分解質(zhì)因數(shù)后，各個質(zhì)因數(shù)的指數(shù)都是偶數(shù)。
三、判斷一個數(shù)是否為完全平方數(shù)的方法
直接開方法：嘗試對這個數(shù)進(jìn)行開方運(yùn)算，如果結(jié)果是一個整數(shù)，那么這個數(shù)就是完全平方數(shù)。
分解質(zhì)因數(shù)法：將這個數(shù)進(jìn)行質(zhì)因數(shù)分解，然后檢查每個質(zhì)因數(shù)的指數(shù)是否都是偶數(shù)。如果是，那么這個數(shù)就是完全平方數(shù)。
四、完全平方數(shù)的應(yīng)用
完全平方數(shù)在數(shù)學(xué)中有廣泛的應(yīng)用，如在代數(shù)、幾何、數(shù)論等領(lǐng)域都有涉及。例如，在解決一些與平方根有關(guān)的問題時，了解完全平方數(shù)的特征會很有幫助。
五、注意事項(xiàng)
在判斷一個數(shù)是否為完全平方數(shù)時，需要注意以下幾點(diǎn)：
不要忽略0也是完全平方數(shù)。
注意區(qū)分完全平方數(shù)和平方數(shù)的概念，一個數(shù)的平方不一定是完全平方數(shù)（除非這個數(shù)本身是完全平方數(shù)的平方根）。
《完全平方數(shù)特征》知識點(diǎn)總結(jié)
一、完全平方數(shù)的定義
完全平方數(shù)是指一個整數(shù)可以表示成某個整數(shù)的平方的形式。例如，1、4、9、16等都是完全平方數(shù)，因?yàn)樗鼈兛梢苑謩e表示為1、2、3、4。
二、完全平方數(shù)的特征
末位特征：
一個完全平方數(shù)的末位數(shù)字只能是0、1、4、5、6、9。
奇數(shù)的平方的個位數(shù)字為奇數(shù)，十位數(shù)字為偶數(shù)。
如果完全平方數(shù)的個位是6，則它的十位數(shù)字必是奇數(shù)。
平方根特征：
一個正整數(shù)如果是完全平方數(shù)，那么它必定有兩個平方根，它們互為相反數(shù)。
負(fù)數(shù)不是完全平方數(shù)，因?yàn)樵趯?shí)數(shù)范圍內(nèi)沒有實(shí)數(shù)的平方是負(fù)數(shù)。
數(shù)的因數(shù)特征：
一個完全平方數(shù)必有奇數(shù)個因數(shù)（包括1和它本身）。
奇數(shù)個因數(shù)的正整數(shù)一定是某個自然數(shù)的平方。
數(shù)的奇偶性特征：
奇數(shù)的平方是奇數(shù)，偶數(shù)的平方是偶數(shù)。
連續(xù)整數(shù)的平方差特征：
兩個連續(xù)整數(shù)的平方差等于這兩個整數(shù)的和。例如，(n+1) - n = 2n + 1。
三、完全平方數(shù)的判定方法
直接開方法：直接計(jì)算一個數(shù)的平方根，看結(jié)果是否為整數(shù)。
因式分解法：將給定的數(shù)進(jìn)行因式分解，看是否能分解為某個整數(shù)的平方與另一個整數(shù)的乘積。
末位數(shù)字判斷法：根據(jù)完全平方數(shù)的末位數(shù)字特征進(jìn)行判斷。
四、完全平方數(shù)的應(yīng)用
完全平方數(shù)在數(shù)學(xué)、物理、工程等領(lǐng)域都有廣泛的應(yīng)用。例如，在幾何學(xué)中，正方形的面積就是一個完全平方數(shù)；在代數(shù)學(xué)中，完全平方公式是解決二次方程的重要工具；在物理學(xué)中，動能、勢能等物理量的計(jì)算也常涉及完全平方數(shù)。
五、注意事項(xiàng)
在判斷一個數(shù)是否為完全平方數(shù)時，需要注意以下幾點(diǎn)：
不要忽略負(fù)數(shù)的平方也是正數(shù)，但負(fù)數(shù)本身不是完全平方數(shù)。
注意區(qū)分平方和完全平方數(shù)的概念，平方是一種運(yùn)算，而完全平方數(shù)是一種特殊的整數(shù)。
在應(yīng)用完全平方數(shù)的特征時，要結(jié)合具體的問題情境進(jìn)行分析和判斷。
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