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必修四數(shù)學(xué)期末試卷
高中數(shù)學(xué)必修一必修四綜合檢測(cè)題(一)
一、選擇題
1.若向量 ， ， 滿足條件 ，則 =( )
A.6 B.5 C.4 D.3
2.如果 ，那么 等于( )
A. B. C. [ D.
3.已知向量 ( )
A. B. C. D.
4.若一圓弧長(zhǎng)等于其所在圓的內(nèi)接正三角形的邊長(zhǎng)，那么其圓心角的弧度數(shù)為( )
A. B. C. D.2
5.若 ,則 的值為( )
A. B. C. D.
6.函數(shù) 在一個(gè)周期內(nèi)的圖象如下，此函數(shù)的解析式為( )
A. B.
C. D.
7.已知函數(shù) ，若函數(shù) 有3個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍( ).
A.(0, ) B. C. D. (0,1)
8. 為三角形 的一個(gè)內(nèi)角,若 ,則這個(gè)三角形的形狀為( )
A.銳角三角形 B.鈍角三角形 C.等腰直角三角形 D.等腰三角形
9.設(shè) 是定義在 上的奇函數(shù)，且 ， ，則 ( )
A.0 B. 0.5 C.2 D.
10.已知函數(shù) 滿足:對(duì)任意實(shí)數(shù) ,當(dāng) 時(shí),總有 ,那么實(shí)數(shù) 的取值范圍是 ( )
A. B. C. D.
二、填空題
11.已知 ,則 = .
12.方程 在 上有兩個(gè)不等的實(shí)根，則實(shí)數(shù) 的取值范圍是
13.設(shè) ，則
14.若 ，則 的取值范圍是
15.關(guān)于x的方程 有實(shí)根，且一個(gè)大于2，一個(gè)小于2，則m取值范圍為_ __ __.
三、解答題
16. 已知集合 ， , 。
(1)求 ;(2)求 ;(3)若 ，求 的取值范圍
17.已知向量 與 的夾角為30°，且| |= ，| |=1，
(1)求| -2 |的值
(2)設(shè)向量 = +2 ， = -2 ，求向量 在 方向上的投影
18.已知向量a=cos x，-12，b=(3sin x，cos 2x)，x∈ ，設(shè)函數(shù) =a•b.
(1)求 的最小正周期;
(2)求 在0，π2上的最大值和最小值.
19.設(shè) 是定義在R上的奇函數(shù)，且對(duì)任意a、b ，當(dāng) 時(shí)，都有 .
(1)若 ，試比較 與 的大小關(guān)系;
(2)若 對(duì)任意 恒成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍.
20. 在每年的“春運(yùn)”期間，某火車站經(jīng)統(tǒng)計(jì)每天的候車人數(shù) (萬(wàn)人)與時(shí)間 (小時(shí))，近似滿足函數(shù)關(guān)系式 ， ，并且一天中候車人數(shù)最少是夜晚2點(diǎn)鐘，最多是在下午14點(diǎn)鐘。
(1)求函數(shù)關(guān)系式?
(2)當(dāng)候車人數(shù)達(dá)到13萬(wàn)人以上時(shí)，車站將進(jìn)入緊急狀態(tài)，需要增加工作人員應(yīng)對(duì)。問在一天中的什么時(shí)間段內(nèi)，車站將進(jìn)入緊急狀態(tài)?
21.已知函數(shù) 的圖象過點(diǎn) ，且圖象上與 點(diǎn)最近的一個(gè)最高點(diǎn)坐標(biāo)為 .
(1)求函數(shù)的解析式;
(2)指出函數(shù)的增區(qū)間;
(3)若將此函數(shù)的圖象向左平行移動(dòng) 個(gè)單位長(zhǎng)度后，再向下平行移動(dòng)2個(gè)單位長(zhǎng)度得到 的圖象，求 在 上的值域.
(選做)22.已知函數(shù)
(1) 判斷 的單調(diào)性并證 明;
(2)設(shè)函數(shù) .若關(guān)于x的方程g(x)=0在(0，2)上有兩個(gè)解x1，x2,求k的取值范圍, 并比較 與4的大小.
高中數(shù)學(xué)必修一必修四檢測(cè)題(一)參考答案
CDBCA ADBBA 11. 12. 13.17 14. 15.
16.解：(1)
=
(2)
=
(3) 集合 , ，且
17.解(1)∵| -2 |= =
= =1
(2)(法一)：由(1)可知 ; ; =
∴ = = ;從而在方向上的投影為 =
(法二)：∵由(1)可知 ; = = =
18.解：f(x)=cos x，-12•(3sin x，cos 2x)
=3cos xsin x-12cos 2x=32sin 2x-12cos 2x
=cosπ6sin 2x-sinπ6cos 2x=sin2x-π6.
(1)f(x)的最小正周期為T=2πω=2π2=π，
即函數(shù)f(x)的最小正周期為π.
(2)∵0≤x≤π2，∴-π6≤2x-π6≤5π6.
由正弦函數(shù)的性質(zhì)，知當(dāng)2x-π6=π2，即x=π3時(shí)，f(x)取得最大值1;
當(dāng)2x-π6=-π6，即x=0時(shí)，f(0)=-12，
當(dāng)2x-π6=5π6，即x=π2時(shí)，fπ2=12，
∴ f(x)的最小值為-12.
因此，f(x)在0，π2上的最大值是1，最小值是-12.
19.解：(1)因?yàn)?，所以 ，由題意得：
，所以 ，又 是定義在R上的奇函數(shù)，
，即
(2)由(1)知 為R上的單調(diào)遞增函數(shù)，
對(duì)任意 恒成立，
，即 ，
， 對(duì)任意 恒成立，
即k小于函數(shù) 的最小值.
令 ，則 ，
.
20.解：(1)由題意知
解得：
即：
又∵當(dāng) 時(shí)，
∴
∴
(2)問題等價(jià)于，
即
∴
答：一天中10——18點(diǎn)，車站將進(jìn)入緊急狀態(tài)。
21.(1)由已知可得
由 得
……3分
(2)由
增區(qū)間是
(3)
的值域?yàn)?/p>
22.解：(1)由題意得： ，設(shè) ，
則
， ，又 ，得
，即 ，∴ 在 上為增函數(shù).
(2)
在 上有兩個(gè)解 ，不妨設(shè)
因?yàn)?/p>
所以 在 是單調(diào)函數(shù)，故 在 上至多一個(gè)解.
若 ，則 ，故不符題意，因此
由 得 ，所以 ，
由 得 ，所以 ;
故當(dāng) 時(shí)，方程 在 上有兩個(gè)解.
方法一：因?yàn)?，所以 ，
消去 得 ，即
因?yàn)?，所以 .
方法二：由 得
由 ，得 ，因?yàn)?，所以 .
則 .
而 在 上是減函數(shù)
則
因此
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