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讓靜止的圖形動(dòng)起來(lái)的奧數(shù)題
以靜變動(dòng)，讓靜止的圖形動(dòng)起來(lái)，這是一種動(dòng)態(tài)的思想方法，這種思想方法在求解幾何圖形面積時(shí)是常常用到的�，F(xiàn)舉例如下：
一、旋轉(zhuǎn)的思想方法
將所給圖形中的某一部分繞一個(gè)固定點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一定（或適當(dāng)）的角度，變?yōu)檩^明顯的簡(jiǎn)單而又直觀的圖形。
例1 如圖1中的兩個(gè)三角形都是正三角形，大三角形的面積是小三角形面積的多少倍？
分析與解 觀察圖1可見(jiàn)，只需將小三角形繞圓心旋轉(zhuǎn)60°，得到如圖2所示的圖形。小三角形將大三角形分別割成面積相等的四塊。因此大三角形的面積是小三角形面積的4倍。
例2 求圖3中陰影部分的面積。（π取3）（單位：厘米）
分析與解 觀察圖3發(fā)現(xiàn)，只要將圖中右邊的陰影部分繞圓心逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90°就得到圖4所示的形狀。所求的陰影部分的面積就是大扇形的面積與空白部分（三角形）面積的差。即
二、移動(dòng)的思想方法
1.點(diǎn)的移動(dòng)：將圖中的某一點(diǎn)看作一個(gè)“動(dòng)點(diǎn)”沿直線移動(dòng)，使原來(lái)分著的空白部分合并在一起變成一個(gè)簡(jiǎn)單明了的圖形。
例3 如圖5,已知長(zhǎng)方形的長(zhǎng)是8厘米，寬是4厘米，圖中陰影部分面積是10平方厘米，求OD長(zhǎng)多少厘米？
分析與解 觀察圖5,把圖中的陰影部分看作兩個(gè)三角形（即△ABO和△CBO），將這兩個(gè)三角形中的A點(diǎn)和C點(diǎn)分別看作“動(dòng)點(diǎn)”平移到如圖6所示的A‘點(diǎn)和C’點(diǎn)（等底等高，面積相等），等積變形為一個(gè)簡(jiǎn)單的三角形A'C'O.因?yàn)殛幱安糠置娣e是10平方厘米，A'C‘的長(zhǎng)為4厘米，所以O(shè)B的長(zhǎng)度為（10×2÷4=）5（厘米），因此OD的長(zhǎng)度是（8-5=）3（厘米）。
2.面的移動(dòng)：將所給圖形中的某個(gè)圖形沿直線上下左右移動(dòng)，把復(fù)雜的圖形轉(zhuǎn)化成簡(jiǎn)單的圖形，使原來(lái)面積不等變成相等。
例4 有紅、黃、綠三塊大小一樣的正方形紙片，放在一個(gè)正方形盒內(nèi)，它們之間互相疊合（如圖7），已知露在外面的部分中，紅色面積是20,黃色面積為14,綠色面積是10,那么正方形盒子的面積是多少？
分析與解 根據(jù)題目的條件，觀察圖7,發(fā)現(xiàn)黃色正方形沿著正方形盒子的邊線慢慢向左平移，黃色紙片的小部分逐漸被紅色紙片所蓋沒(méi)，綠色紙片卻逐漸在增加，黃色紙片蓋住的部分就是綠色紙片增加的部分。直移到紅色與黃色兩紙片下上對(duì)齊。此時(shí)綠色紙片也暴露到了最大的程度（如圖8），而且黃色紙片與綠色紙片的面積是相等的。即黃色和綠色的面積都為（（10+14）÷2=）12.我們把留出的空白部分假設(shè)為白色，從圖中可看出，紅、黃兩紙片有一邊相同，綠、白兩紙片也有一邊相同，所以它們各自面積之比等于相應(yīng)邊長(zhǎng)的比。便有：
因此，所求正方形盒子的面積為
20+12+12+7.2=51.2
三、翻折的思想方法
將所給圖形的某一部分以某一直線為對(duì)稱軸翻折，使原來(lái)復(fù)雜的圖形變?yōu)橹庇^圖形。
例5 如圖9,長(zhǎng)方形的長(zhǎng)是8,寬是6,A和B是寬的中點(diǎn)，求長(zhǎng)方形內(nèi)陰影部分的面積。
分析與解 觀察圖9,根據(jù)題目的條件可知直線AB將原大長(zhǎng)方形分成大小一樣的兩個(gè)小長(zhǎng)方形。只需把下面的小長(zhǎng)方形以直線AB為對(duì)稱軸向上翻折，就把下面長(zhǎng)方形內(nèi)的陰影部分合并到如圖10所示的上面的長(zhǎng)方形中。我們知道陰影部分的面積就是小長(zhǎng)方形面積的一半，即所求陰影部分的面積為
8×（6÷2）÷2=12.
例6 在圖11中，圓的半徑為r,求陰影部分的面積。
分析與解 以圖11中的水平直徑作為對(duì)稱軸，將上半部分往下翻折，使陰影部分拼合成兩個(gè)三角形（如圖12）�？梢钥闯�，所求的陰影部分面積等于梯形面積與空白部分（即三角形面積）的差。所以
陰影部分面積=（2r+4r）×r÷2-2r×r÷2=2r2.
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