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數(shù)論問題試題分析

時間：2022-07-03 10:20:04 語文我要投稿

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關于數(shù)論問題試題分析

　　1、下列每個算式中，最少有一個奇數(shù)，一個偶數(shù)，那么這12個整數(shù)中，至少有幾個偶數(shù)?

關于數(shù)論問題試題分析

　　□+□=□ □-□=□ □×□=□ □÷□=□

　　2、任意取出1234個連續(xù)自然數(shù)，它們的總和是奇數(shù)還是偶數(shù)?

　　3、一串數(shù)排成一行，它們的規(guī)律是：前兩個數(shù)都是1，從第三個數(shù)開始，每一個數(shù)都是前兩個數(shù)的和。如：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，…

　　試問：這串數(shù)的前100個數(shù)(包括第100個數(shù))中，有多少個偶數(shù)?

　　4、能不能將1010寫成10個連續(xù)自然數(shù)之和?如果能，把它寫出來;如果不能，說明理由。

　　5、能否將1至25這25個自然數(shù)分成若干組，使得每一組中的最大數(shù)都等于組內(nèi)其余各數(shù)的和?

　　6、在象棋比賽中，勝者得1分，敗者扣1分，若為平局，則雙方各得0分。今有若干個學生進行比賽，每兩人都賽一局�，F(xiàn)知，其中有一位學生共得7分，另一位學生共得20分，試說明，在比賽過程中至少有過一次平局。

　　7、在黑板上寫上1，2，…，909，只要黑板上還有兩個或兩個以上的數(shù)就擦去其中的任意兩個數(shù)a，b，并寫上a-b(其中a≥b)。問：最后黑板上剩下的是奇數(shù)還是偶數(shù)?

　　在整數(shù)中，有用2個以上的連續(xù)自然數(shù)的和來表達一個整數(shù)的方法.例如9：9=4+5，9=2+3+4，9有兩個用2個以上連續(xù)自然數(shù)的和來表達它的方法.

　　(1)請寫出只有3種這樣的表示方法的最小自然數(shù).

　　(2)請寫出只有6種這樣的表示方法的最小自然數(shù).

　　分析：(1)關于某整數(shù)，它的“奇數(shù)的約數(shù)的個數(shù)減1“，就是用連續(xù)的整數(shù)的和的形式來表達種數(shù);根據(jù)(1)知道，有3種表達方法，于是奇約數(shù)的個數(shù)為3+1=4，對4分解質(zhì)因數(shù)4=2×2，最小的15(1、3、5、15);有連續(xù)的2、3、5個數(shù)相加;7+8;4+5+6;1+2+3+4+5;

　　(2)有6種表示方法，于是奇數(shù)約數(shù)的個數(shù)為6+1=7，最小為729(1、3、9、27、81、243、729)，有連續(xù)的2，3、6、9、10、27個數(shù)相加：

　　364+365;242+243+244;119+120+…+124;77+78+79+…+85;36+37+…+45;14+15+…+40.

　　解答：解：根據(jù)(1)知道，有3種表達方法，于是奇約數(shù)的個數(shù)為3+1=4，對4分解質(zhì)因數(shù)4=2×2，最小的15(1、3、5、15);

　　有連續(xù)的2、3、5個數(shù)相加;7+8;4+5+6;1+2+3+4+5;

　　根據(jù)(2)知道，有6種表示方法，于是奇數(shù)約數(shù)的個數(shù)為6+1=7，最小為729(1、3、9、27、81、243、729)，

　　有連續(xù)的2，3、6、9、10、27個數(shù)相加：

　　364+365;242+243+244;119+120+…+124;77+78+79+…+85;36+37+…+45;14+15+…+40

　　8、設a1，a2，…，a64是自然數(shù)1，2，…，64的任一排列，令b1=a1-a2，b2=a3-a4，…，b32=a63-a64;c1=b1-b2，c2=b3-b4，…，c16=b31-b32;d1=c1-c2，d2=c3-c4，…，d8=c15-c16;……

　　這樣一直做下去，最后得到的一個整數(shù)是奇數(shù)還是偶數(shù)?

　　1、至少有6個偶數(shù)。

　　2、奇數(shù)。解：1234÷2=617，所以在任取的1234個連續(xù)自然數(shù)中，奇數(shù)的個數(shù)是奇數(shù)，奇數(shù)個奇數(shù)之和是奇數(shù)，所以它們的總和是奇數(shù)。

　　3、33。提示：這串數(shù)排列的規(guī)律是以“奇奇偶”循環(huán)。

　　4、不能。

　　如果1010能表示成10個連續(xù)自然數(shù)之和，那么中間2個數(shù)的和應當是1010÷5=202。但中間2個數(shù)是連續(xù)自然數(shù)，它們的和應是奇數(shù)，不能等于偶數(shù)202。所以，1010不能寫成10個連續(xù)自然數(shù)之和。

　　5、不能。提示：仿例3。

　　6、證：設得7分的學生勝了x1局，敗了y1局，得20分的學生勝了x2局，敗了y2局。由得分情況知：

　　x1-y1=7，x2-y2=20。

　　如果比賽過程中無平局出現(xiàn)，那么由每人比賽的場次相同可得x1+y1=x2+y2，即x1+y1+x2+y2是偶數(shù)。另一方面，由x1-y1=7知x1+y2為奇數(shù)，由x2-y2=20知x2+y2為偶數(shù)，推知x1+y1+x2+y2為奇數(shù)。這便出現(xiàn)矛盾，所以比賽過程中至少有一次平局。

　　7、奇數(shù)。解：黑板上所有數(shù)的和S=1+2+…+909是一個奇數(shù)，每操作一次，總和S減少了a+b-(a-b)=2b，這是一個偶數(shù)，說明總和S的奇偶性不變。由于開始時S是奇數(shù)，因此終止時S仍是一個奇數(shù)。

　　8、偶數(shù)。

　　解：我們知道，對于整數(shù)a與b，a+b與a-b的奇偶性相同，由此可知，上述計算的第二步中，32個數(shù)。

　　a1-a2，a3-a4，…，a63-a64，

　　分別與下列32個數(shù)。

　　a1+a2，a3+a4，…，a63+a64，

　　有相同的奇偶性，這就是說，在只考慮奇偶性時，可以用“和”代替“差”，這樣可以把原來的計算過程改為

　　第一步：a1，a2，a3，a4，…，a61，a62，a63，a64;

　　第一步：a1+a2，a3+a4，…，a61+a62，a63+a64;

　　第三步：a1+a2+a3+a4，…，a61+a62+a63+a64;

　　……

　　最后一步所得到的數(shù)是a1+a2+…+a63+a64。由于a1，a2，…，a64是1，2，…，64的一個排列，因此它們的總和為1+2+…+64是一個偶數(shù)，故最后一個整數(shù)是偶數(shù)