- 相關(guān)推薦
《數(shù)與形》課堂實(shí)錄
引導(dǎo)語(yǔ)：想要學(xué)好數(shù)學(xué)，無(wú)非是從數(shù)字和形狀下手，那么相關(guān)的《數(shù)與形》課堂實(shí)錄哪里有呢？接下來(lái)是小編為你帶來(lái)收集整理的文章，歡迎閱讀！
一、談話(huà)導(dǎo)入
1、師：同學(xué)們，我們學(xué)過(guò)了哪些數(shù)學(xué)知識(shí)？
生：分?jǐn)?shù)乘法。
師：這是關(guān)于數(shù)的知識(shí)。
生：我們學(xué)過(guò)小數(shù)乘法。
師：這也是關(guān)于數(shù)的知識(shí)。
生：我們學(xué)過(guò)長(zhǎng)方體正方體的體積。
師：這是關(guān)于形的知識(shí)。
生：我們學(xué)過(guò)比。
師：這是關(guān)于數(shù)的知識(shí)。
生：我們還學(xué)過(guò)奇數(shù)偶數(shù)。
師：這也是關(guān)于數(shù)的知識(shí)。
�。▽⒁郧皩W(xué)過(guò)的知識(shí)進(jìn)行整理，都可以分為“數(shù)”和“形”兩類(lèi)）
2、圖片欣賞。
師：讓我們來(lái)看一幅圖片，圖片中有什么？
生：花壇。
師：說(shuō)具體點(diǎn)。
生：一個(gè)正方形花壇。
師：在這句話(huà)中就既有數(shù)、又有形。
�。ㄑ菔荆簲�(shù)：一個(gè) 形：正方形 物： 花壇）
師小結(jié)：（錄音中不包括）
二、探究新知。
1、從1開(kāi)始的n個(gè)連續(xù)奇數(shù)相加的和是多少？
師：n個(gè)是幾個(gè)？
生：無(wú)數(shù)個(gè)。
師：這個(gè)n代表多少？可以代表300嗎？
生：可以。
師：有可能是300個(gè)，有沒(méi)有可能是30個(gè)？有沒(méi)有可能是3個(gè)？也就是說(shuō)，它的個(gè)數(shù)是不固定的。那它的個(gè)數(shù)不固定，它的和呢？
生：也不固定。
師：可見(jiàn)這個(gè)和必定和這個(gè)n有關(guān)系。那它到底有什么聯(lián)系呢？怎么才能知道它有什么聯(lián)系？
師：你有方法嗎？想一想你有沒(méi)有好的思路？
生：可以自己先算一算。
師：怎么算？
生：先算出10個(gè)，然后再進(jìn)行推算。
師：真好。他的意思是把n先假定在10個(gè)以?xún)?nèi)，對(duì)嗎？很好的策略。復(fù)雜的問(wèn)題往往要從簡(jiǎn)單的開(kāi)始。那我們就聽(tīng)你的，把n的個(gè)數(shù)假定在10個(gè)以?xún)?nèi)，舉一些例子來(lái)看一看他們有什么聯(lián)系。幾個(gè)最簡(jiǎn)單？
生：1個(gè)。
師：1個(gè)最簡(jiǎn)單，那我們來(lái)看。如果有1個(gè)這樣的奇數(shù)那算式也只能是1，和也是1。
師：如果有兩個(gè)這樣的奇數(shù)相加，那算式應(yīng)該是什么樣子的？
生：1+3
師：對(duì)嗎？和呢？
生：4
師：它們是不是有聯(lián)系？繼續(xù)。3個(gè)。
生：1+3+5
師：同意嗎？和呢？
生：9
師：再來(lái)一個(gè)。
生：1+3+5+7
師：同意嗎？和是？
生：16.
師：我想是不是有同學(xué)觀察到了什么？你有什么發(fā)現(xiàn)？先在小組說(shuō)說(shuō)你的發(fā)現(xiàn)，關(guān)鍵是下面的算式是不是都有這個(gè)規(guī)律？任選一個(gè)驗(yàn)證一下。
師：（巡視指導(dǎo)）任選一個(gè)驗(yàn)證一下，看看下面的算式是不是也有這樣的規(guī)律，規(guī)律應(yīng)該是有連續(xù)性的。
2、小組匯報(bào)交流。
師：同學(xué)們有發(fā)現(xiàn)嗎？誰(shuí)來(lái)說(shuō)一下你有什么發(fā)現(xiàn)。
生：每個(gè)后面的數(shù)都是加2，而且都是奇數(shù)。
生：后面得的這個(gè)數(shù)都是前面這個(gè)數(shù)的平方倍。
師：你能找一個(gè)數(shù)解釋一下嗎？
生：5，算式是1+3+5+7+9=25
師：那你說(shuō)一下5和25的關(guān)系。
生：25是5的平方倍。
師：25是5的平方。你們有沒(méi)有這樣的發(fā)現(xiàn)？你們驗(yàn)證的是哪一個(gè)？
生：我們驗(yàn)證的是6.
師：6，6個(gè)這樣的奇數(shù)相加是多少？
生：36.
師：算式是1+3+5+7+9+11=36，也有這個(gè)規(guī)律。那大家再來(lái)看這些是不是都有這個(gè)規(guī)律？為了便于觀察，我們可以將算式先隱藏起來(lái)，大家看一看，確認(rèn)一下，有這個(gè)規(guī)律嗎？
3、小結(jié)。
師：按照剛才這個(gè)同學(xué)的說(shuō)法，當(dāng)有1個(gè)這樣的奇數(shù)相加的時(shí)候，它的和就是1×1；也就是1的平方；當(dāng)有2個(gè)這樣的奇數(shù)相加，它的和4就是2的平方；9呢？3的平方；16呢？4的平方；25呢？5的平方。依次這樣下去，看來(lái)真的有這樣的規(guī)律。以此類(lèi)推，如果有20個(gè)這樣的連續(xù)奇數(shù)相加，你覺(jué)得它的和應(yīng)該是多少？
生：400.
師：怎么算的？
生：20×20=400
師：那如果有100個(gè)這樣的連續(xù)奇數(shù)的和應(yīng)該是多少？
生：100×100=10000.
師：以此類(lèi)推，如果有n個(gè)這樣連續(xù)奇數(shù)相加的和應(yīng)該是多少？
生：n的平方。
師：齊讀。
生：從1開(kāi)始的n個(gè)連續(xù)奇數(shù)相加的和是n的平方。
師：這個(gè)規(guī)律有意思嗎？從1開(kāi)始的幾個(gè)連續(xù)奇數(shù)，它的和竟然可以用它的個(gè)數(shù)的平方來(lái)算。你覺(jué)得奇怪嗎？你不奇怪能不能來(lái)解釋一下？為什么這樣連續(xù)奇數(shù)相加是它的和可以用個(gè)數(shù)的平方來(lái)算？
生：比如說(shuō)5，就是5個(gè)數(shù)相加，它的和就是5的平方。
生：可以用簡(jiǎn)便算法來(lái)試試。10個(gè)連續(xù)奇數(shù)，可以看做是1+19,3+17,5+15,7+13,9+11，就是5個(gè)20相加。
師：你用了另一種算法，但是仍然不能解釋為什么它們的和要用個(gè)數(shù)的平方來(lái)算。
4、小組交流。
師：說(shuō)實(shí)話(huà)，同學(xué)們，如果這個(gè)道理從數(shù)的道理來(lái)解釋?zhuān)�真的不太好解釋?zhuān)窃撛趺崔k？華羅庚說(shuō)過(guò)：“不懂就畫(huà)圖”，我們?yōu)榱俗尨蠹衣?tīng)得更清楚，老師準(zhǔn)備了一幅畫(huà)，我們來(lái)拼圖。我來(lái)做個(gè)示范。哪個(gè)最簡(jiǎn)單？
生：1
師：我用1個(gè)紅色的正方形來(lái)代表1，1行而且1個(gè)，1乘1還是1，下一個(gè)1+3,你能用這樣的圖形來(lái)表示出來(lái)嗎？拼出個(gè)1+3行不行？大家小組內(nèi)都有這樣的小正方形，拼一拼。
�。ㄑ惨曋笇�(dǎo)）
5、小組展示。
師：請(qǐng)問(wèn)，這可以表示1+3嗎？（指著橫排成一排的）
師：“1”在哪里？（紅色）“3”呢？（黃色）這個(gè)是不是可以表示1+3？
師：這個(gè)正方形可以表示1+3嗎？
生：可以。
師：“1”在哪里？（紅色）“3”呢？（黃色）。這都表示1+3.關(guān)鍵是我們不光是能夠表示1+3，還要解釋1+3為什么用2×2來(lái)算。那哪一個(gè)圖形既能表示1+3，又能表示2×2呢？
師：說(shuō)一說(shuō)，2×2在哪里？
生：每行有兩個(gè)，有兩個(gè)2，就是2×2。
師：有兩列，而且有兩行，就表示2×2�？磥�(lái)，拼成正方形，就可以表示從1開(kāi)始的這樣的連續(xù)奇數(shù)相加，還可以表示一個(gè)數(shù)的平方。這樣的1+3是不是也可以用2×2來(lái)算？那下一個(gè)，1+3+5又該怎么拼?你來(lái)試試看。
�。▽W(xué)生拼圖：1+3+5，教師巡視。）
6、
師：大家看，你們拼成一個(gè)正方形了嗎？我看到大家拼的正方形的樣子都不太一樣，顏色的排列不同，這位同學(xué)排的好不好？好在哪里？
生：最小的數(shù)量在最里面，中間的數(shù)量在中間，最大的數(shù)量在最外邊。
師：對(duì)，大家雖然都拼成了正方形，但是我們數(shù)學(xué)上要講究順序、規(guī)律、條理，這位同學(xué)拼的非常好。這樣，你能解釋1+3+5用3的平方來(lái)算呢？
生：因?yàn)樗麄儥M著豎著都是三個(gè)。
師：橫著每行有三個(gè)，而且有三行，所以可以用3的平方來(lái)計(jì)算。那1+3+5+7你會(huì)拼了嗎？方塊已經(jīng)沒(méi)有了，讓我們來(lái)想一想，如果在這個(gè)（1+3+5）的基礎(chǔ)上再加上7個(gè)，你覺(jué)得這7個(gè)可以怎么擺？
生：按照原來(lái)的方法再擺一層。
師：繼續(xù)想，拼完之后又是什么圖形？
生：正方形。
師：這個(gè)正方形的每條邊上有幾個(gè)小方塊？有幾行？（課件演示不同的顏色），這些不同的顏色分別表示幾？為什么1+3+5+7可以用4的平方來(lái)算？
生：因?yàn)檫@幾個(gè)不同顏色的方塊拼在一起就組成了大大的正方形，這個(gè)正方形可以拼成4行，每行有4個(gè)，可以用4的平方來(lái)計(jì)算。
師：同學(xué)們，如果繼續(xù)這樣拼下去，再加上一個(gè)奇數(shù)，9，現(xiàn)在有幾個(gè)奇數(shù)？而且小正方形每條邊上的個(gè)數(shù)也變成5個(gè)，而且有這樣的5行，所以它的和可以用5的平方來(lái)算。那，繼續(xù)這樣拼下去，再增加一個(gè)奇數(shù)，11，它的總和可以用6的平方來(lái)算。再來(lái)一行呢？可以用7的平方，以此類(lèi)推，如果有n個(gè)這樣的連續(xù)奇數(shù)，那就可以用n的平方來(lái)算。
師：這個(gè)規(guī)律你現(xiàn)在弄明白了嗎？我們是怎么弄明白的？
生：在我們不懂得時(shí)候就可以用形狀來(lái)解。
生：形可以很簡(jiǎn)便的了解不會(huì)的問(wèn)題。
7、小結(jié)
師：是的，數(shù)是很抽象的，很多道理我們需要借助形的力量來(lái)理解，把數(shù)化成形之后，可以使復(fù)雜的數(shù)量關(guān)系變得更加的清楚、明白，我們把這樣的過(guò)程叫做“化數(shù)為形”，然后以形來(lái)助數(shù)，幫助理解數(shù)量關(guān)系。
8、
師：那數(shù)的規(guī)律可以借助圖形來(lái)幫助思考，那形的變化背后是不是也隱藏著數(shù)的規(guī)律呢？
師：我來(lái)口述一個(gè)問(wèn)題，大家來(lái)思考。有一種桌子，四面坐人可以坐8個(gè)人，如果兩個(gè)桌子拼到一起就可以坐12個(gè)人，3張桌子拼到一起可以坐16個(gè)人，這樣的100張桌子拼到一起可以坐多少個(gè)人？
師：你聽(tīng)懂了嗎？其實(shí)這個(gè)事挺簡(jiǎn)單的，但是用話(huà)說(shuō)卻說(shuō)不明白，你們有沒(méi)有好的方法？
生：畫(huà)圖。
師：如果畫(huà)出來(lái)的話(huà)，（課件演示）1張桌子可以坐8個(gè)人，2張桌子可以坐12個(gè)人，3張桌子可以坐16個(gè)人，100張桌子可以坐多少人？小組討論交流，把答案寫(xiě)在作業(yè)紙上。
�。ㄐ〗M討論交流。）
師：小組同學(xué)來(lái)說(shuō)一說(shuō)你們的做法。
師：請(qǐng)你借助圖形來(lái)說(shuō)一說(shuō)你為什么這樣做？
生：我們組算的是一共有404人。100張桌子拼在一起，這一邊也就是它的長(zhǎng)邊一共有400個(gè)人，再加上兩頭有4個(gè)人，一共有404人。
生：它每張桌子的兩邊坐4個(gè)人，他有100張桌子，再加上邊上就是它的寬分別坐2人，400+4=404人。
師：算式就是100×4,100×4的意思就是每張桌子兩邊都坐4個(gè)人，100張桌子就做400個(gè)人，旁邊還有4人，所以需要在加上4，等于404人。
師：還有其他做法嗎？
生：我們小組是這樣想的，把第一張桌子去掉的話(huà)，每增加一張桌子就增加4個(gè)人，8+4×99=404人。
師：算式是這樣的，8先不看，多了99張桌子，每多一張桌子就多4個(gè)人，所以多了4×99這些人，然后再加上8人等于404人
師：我想問(wèn)一下，這是一個(gè)圖形的問(wèn)題，為什么你們不去畫(huà)圖，卻用數(shù)來(lái)算呢？
生：老師我感覺(jué)畫(huà)圖太麻煩了，因?yàn)樗?00張桌子。
師：對(duì)，畫(huà)圖太麻煩了，這時(shí)候需要借助數(shù)的力量，把形的計(jì)算問(wèn)題用數(shù)來(lái)做會(huì)更加的快速、簡(jiǎn)便而且準(zhǔn)確。那我們把這樣的過(guò)程叫做化形為數(shù)，然后以數(shù)來(lái)解形。（板書(shū)）
師：同學(xué)們，回顧這兩個(gè)例子，在第一個(gè)例子當(dāng)中，數(shù)的問(wèn)題可以借助圖形來(lái)思考，而第二個(gè)例子當(dāng)中，形的知識(shí)可以借助數(shù)來(lái)計(jì)算，數(shù)和形各有優(yōu)點(diǎn)，它們一一對(duì)應(yīng)而且可以互相轉(zhuǎn)化，互為補(bǔ)充，這就意味著要求我們?cè)诮鉀Q問(wèn)題的時(shí)候要把數(shù)和形結(jié)合起來(lái)，這在數(shù)學(xué)上是一種重要的思想，就叫“數(shù)形結(jié)合思想”。
師：對(duì)于“數(shù)形結(jié)合”，我國(guó)數(shù)學(xué)家華羅庚先生有一段話(huà)非常好。讓我們一起讀一遍：
生：數(shù)缺形時(shí)少直覺(jué)，形缺數(shù)時(shí)難入微。數(shù)形結(jié)合百般好，隔離分家萬(wàn)事休。
師：數(shù)形結(jié)合百般好，可是怎樣做到數(shù)與形的結(jié)合呢？我想，這既然是一種思想，那我們還是要落腳到這兩個(gè)數(shù)上，“思”和“想”，也就是要見(jiàn)“數(shù)”思“形”，見(jiàn)“形”想“數(shù)”。 試試你能不能夠做到。
9、鞏固練習(xí)
師： 有這樣一道算式（3×2），你能夠想到什么圖形？
生：我能想到一個(gè)長(zhǎng)方形。
師：為什么？
生：因?yàn)榭梢韵胂笏拈L(zhǎng)是3，高是2,6就是他們的面積。
師：大家說(shuō)有沒(méi)有道理？可見(jiàn)數(shù)的變化背后卻是隱藏著形。
師：再來(lái)看，這是一位同學(xué)畫(huà)的一副圖形，它用來(lái)表示一個(gè)數(shù)，你覺(jué)得它是那一個(gè)數(shù)呢？
生：我覺(jué)得是3.5，因?yàn)榍懊嫠?huà)的三根一樣的線表示3個(gè)整數(shù)，后邊畫(huà)了前面一根線的二分之一，所以變成3.5
師：有沒(méi)有道理？它可以表示35嗎？
生：可以
師：為什么可以？
生：比如說(shuō)他前面三個(gè)整數(shù)可以想象一個(gè)整數(shù)為10，然后就是35.
師：有這樣一個(gè)數(shù)量關(guān)系，一袋大米中60千克，吃了四分之三，你能夠想到用什么圖形來(lái)表示它？
生：我想到用一個(gè)邊長(zhǎng)為4厘米的的長(zhǎng)方形來(lái)表示。
生：把一個(gè)長(zhǎng)方形平均分成四份，每份是1厘米。
師：那即是說(shuō)把它平均分成4份，吃了的是3份。
10、
師：這樣一個(gè)圖形，你會(huì)想到是幾的平方？為什么？
生：因?yàn)檫@個(gè)正方形邊長(zhǎng)均為3，
師：邊長(zhǎng)為3可以用3的平方來(lái)表示，我們把3的平方還原成像第一張那樣幾個(gè)連續(xù)奇數(shù)的相加這個(gè)算式，這應(yīng)該是什么樣子的？
生：1+3+5
師：那這樣的一個(gè)算是又可以用幾的平方來(lái)表示？
生：應(yīng)該是4的平方，因?yàn)榘阉惯^(guò)來(lái)后就等于1+3+5+7,所以可以用4的平方來(lái)表示，
師：那4的平方你又能想到什么圖形？
生：可以想象出一個(gè)正方形。
師：多大的正方形？
生：邊長(zhǎng)為4的正方形。
師：如果把上邊的算式合起來(lái)，和應(yīng)該是多少？
師：想一想，3的平方等于幾？4的平方等于幾？9+16=25，是5的平方
師：5的平方你又能想到什么圖形？
生：邊長(zhǎng)都是5厘米的正方形。
師：大家看，一個(gè)有趣的算式出現(xiàn)了，3的平方加4的平方等于5的平方，這個(gè)有趣的算式背后還隱藏著有趣的圖形，大家看，直角三角形它的一條直角邊如果是3，另一條直角邊是4，那他的斜邊就一定是5，這是我們初中要學(xué)的一個(gè)重要的定理，叫做勾股定理。
師：大家看，數(shù)形結(jié)合的思想不但從小學(xué)階段一直在陪伴著我們，更重的是對(duì)于我們初中乃至以后的學(xué)習(xí)有著十分重要的意義，我想，這也正是我們?yōu)槭裁匆谶@里講這樣一節(jié)課的目的和價(jià)值所在。下面給大家介紹一些有意思的數(shù)。
像當(dāng)中的這些書(shū)化成圖形都是正方形，我們就把這樣的數(shù)叫做“正方形數(shù)”；按照這樣的叫法，這些數(shù)叫做“三角形數(shù)”；這些可以叫“梯形數(shù)”這些呢？“五邊形數(shù)”，像這樣的數(shù)還有很多。我們現(xiàn)在再來(lái)感受一下這些數(shù)。你覺(jué)得這些數(shù)它還只是數(shù)嗎？它有形狀嗎？這些形它還只是形嗎？它有數(shù)嗎？數(shù)和形，形和數(shù)能分得開(kāi)嗎？所以數(shù)學(xué)上也沒(méi)把他們分開(kāi)，我們就把這樣有形狀的數(shù)叫做“形數(shù)”，知道形數(shù)是誰(shuí)發(fā)現(xiàn)的嗎？他叫“畢達(dá)哥拉斯”，他有一個(gè)著名的理論，他認(rèn)為世界上萬(wàn)事萬(wàn)物的背后都隱藏著數(shù)的規(guī)律，它還舉了一個(gè)例子，1可以用1個(gè)點(diǎn)來(lái)表示，2用兩個(gè)點(diǎn)來(lái)表示，那它就可以練成一條線，3個(gè)點(diǎn)就可以煉成一個(gè)平面，不同平面的4個(gè)點(diǎn)連在一起，他就是一個(gè)立體圖形。大家想，世界上的萬(wàn)事萬(wàn)物背后，是不是都是以或點(diǎn)、或線、或面、或體這樣的形式存在的，所以他們認(rèn)為，“萬(wàn)物皆數(shù)”。
這節(jié)課馬上就要結(jié)束了，老師問(wèn)問(wèn)大家，學(xué)完這一節(jié)課后你有什么體會(huì)？或者說(shuō)你對(duì)于數(shù)和形的認(rèn)識(shí)有沒(méi)有發(fā)生一些改變？
生：數(shù)和形它們兩個(gè)是不能相離得的。
師：你以前是怎么認(rèn)識(shí)的？
生：我以前認(rèn)為給我一個(gè)數(shù)我就去想他做題的答案。
生：我以前認(rèn)為光用一個(gè)數(shù)就能解開(kāi)一個(gè)題，現(xiàn)在我知道了數(shù)和形是形影不離的。
師：接著這位同學(xué)的話(huà)來(lái)說(shuō)，如果把你們以前那種認(rèn)識(shí)歸結(jié)為“看形是形、看數(shù)是數(shù)”的話(huà)，那只是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的第一境界；那你覺(jué)得第二境界應(yīng)該是什么樣子的？“看形不是形，看數(shù)不是數(shù)”。 看形不是形，是什么？看數(shù)不是數(shù)是什么？也就是說(shuō)，數(shù)形要結(jié)合。
下課！