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數(shù)據(jù)分析方法論-層次分析法(一）
最近都在研究這些東西，會(huì)把這些東西逐步加入到我自己開發(fā)的數(shù)據(jù)分析系統(tǒng)里頭，希望都一定時(shí)間應(yīng)該可以把這個(gè)數(shù)據(jù)分析軟件開放出來.
什么是層次分析法層次分析法(The analytic hierarchy process)簡(jiǎn)稱AHP，在20世紀(jì)70年代中期由美國運(yùn)籌學(xué)家托馬斯塞蒂(T.L.Saaty)正式提出。它是一種定性和定量相結(jié)合的、系統(tǒng)化、層次化的分析方法。由于它在處理復(fù)雜的決策問題上的實(shí)用性和有效性，很快在世界范圍得到重視。它的應(yīng)用已遍及經(jīng)濟(jì)計(jì)劃和管理、能源政策和分配、行為科學(xué)、軍事指揮、運(yùn)輸、農(nóng)業(yè)、教育、人才、醫(yī)療和環(huán)境等領(lǐng)域。
層次分析法的基本思路與人對(duì)一個(gè)復(fù)雜的決策問題的思維、判斷過程大體上是一樣的。不妨用假期旅游為例：假如有3個(gè)旅游勝地A、B、C供你選擇，你會(huì)根據(jù)諸如景色、費(fèi)用和 居住、飲食、旅途條件等一些準(zhǔn)則去反復(fù)比較這3個(gè)候選地點(diǎn).首先，你會(huì)確定這些準(zhǔn)則在你的心目中各占多大比重，如果你經(jīng)濟(jì)寬綽、醉心旅游，自然分別看重景 色條件，而平素儉樸或手頭拮據(jù)的人則會(huì)優(yōu)先考慮費(fèi)用，中老年旅游者還會(huì)對(duì)居住、飲食等條件寄以較大關(guān)注。其次，你會(huì)就每一個(gè)準(zhǔn)則將3個(gè)地點(diǎn)進(jìn)行對(duì)比，譬如 A景色最好，B次之;B費(fèi)用最低，C次之;C居住等條件較好等等。最后，你要將這兩個(gè)層次的比較判斷進(jìn)行綜合，在A、B、C中確定哪個(gè)作為最佳地點(diǎn)。
層次分析法建模1.問題的提出
日常生活中有許多決策問題。決策是指在面臨多種方案時(shí)需要依據(jù)一定的標(biāo)準(zhǔn)選擇某一種方案。例如旅游，是去風(fēng)光秀麗的蘇州，還是去迷人的北戴河，或者是去山水甲天下的桂林，一般會(huì)依據(jù)景色、費(fèi)用、食宿條件、旅途等因素選擇去哪個(gè)地方。面臨各種各樣的方案，要進(jìn)行比較、判斷、評(píng)價(jià)、最后作出決策。這個(gè)過程主觀因素占有相當(dāng)?shù)谋戎亟o用數(shù)學(xué)方法解決問題帶來不便
2.層次分析法的基本步驟
1、建立層次結(jié)構(gòu)模型。在深入分析實(shí)際問題的基礎(chǔ)上，將有關(guān)的各個(gè)因素按照不同屬性自上而下地 分解成若干層次，同一層的諸因素從屬于上一層的因素或?qū)ι蠈右蛩赜杏绊�，同時(shí)又支配下一層的因素或受到下層因素的作用。最上層為目標(biāo)層，通常只有1個(gè)因 素，最下層通常為方案或?qū)ο髮�，中間可以有一個(gè)或幾個(gè)層次，通常為準(zhǔn)則或指標(biāo)層。當(dāng)準(zhǔn)則過多時(shí)(譬如多于9個(gè))應(yīng)進(jìn)一步分解出子準(zhǔn)則層。
2、構(gòu)造成對(duì)比較陣。從層次結(jié)構(gòu)模型的第2層開始，對(duì)于從屬于(或影響)上一層每個(gè)因素的同一層諸因素，用成對(duì)比較法和19比較尺度構(gòu)造成對(duì)比較陣，直到最下層。
3、計(jì)算權(quán)向量并做一致性檢驗(yàn)。對(duì)于每一個(gè)成對(duì)比較陣計(jì)算最大特征根及對(duì)應(yīng)特征向量，利用一致性指標(biāo)、隨機(jī)一致性指標(biāo)和一致性比率做一致性檢驗(yàn)。若檢驗(yàn)通過，特征向量(歸一化后)即為權(quán)向量：若不通過，需重新構(gòu)造成對(duì)比較陣。
4、計(jì)算組合權(quán)向量并做組合一致性檢驗(yàn)。計(jì)算最下層對(duì)目標(biāo)的組合權(quán)向量，并根據(jù)公式做組合一致性檢驗(yàn)，若檢驗(yàn)通過，則可按照組合權(quán)向量表示的結(jié)果進(jìn)行決策，否則需要重新考慮模型或重新構(gòu)造那些一致性比率較大的成對(duì)比較陣。
3.建立層次結(jié)構(gòu)模型
將問題包含的因素分層：最高層(解決問題的目的);中間層(實(shí)現(xiàn)總目標(biāo)而采取的各種措施、必須考慮的準(zhǔn)則等。也可稱策略層、約束層、準(zhǔn)則層等);最低層(用于解決問題的各種措施、方案等)。把各種所要考慮的因素放在適當(dāng)?shù)膶哟蝺?nèi)。用層次結(jié)構(gòu)圖清晰地表達(dá)這些因素的關(guān)系。
〔例1〕 購物模型
某一個(gè)顧客選購電視機(jī)時(shí)，對(duì)市場(chǎng)正在出售的四種電視機(jī)考慮了八項(xiàng)準(zhǔn)則作為評(píng)估依據(jù)，建立層次分析模型如下：
〔例2〕 選拔干部模型
對(duì)三個(gè)干部候選人y1、y2 、y3，按選拔干部的五個(gè)標(biāo)準(zhǔn)：品德、才能、資歷、年齡和群眾關(guān)系，構(gòu)成如下層次分析模型： 假設(shè)有三個(gè)干部候選人y1、y2 、y3，按選拔干部的五個(gè)標(biāo)準(zhǔn)：品德，才能，資歷，年齡和群眾關(guān)系，構(gòu)成如下層次分析模型
4.構(gòu)造成對(duì)比較矩陣
比較第 i 個(gè)元素與第 j 個(gè)元素相對(duì)上一層某個(gè)因素的重要性時(shí)，使用數(shù)量化的相對(duì)權(quán)重aij來描述。設(shè)共有 n 個(gè)元素參與比較，則
稱為成對(duì)比較矩陣。
成對(duì)比較矩陣中aij的取值可參考 Satty 的提議，按下述標(biāo)度進(jìn)行賦值。aij在 1-9 及其倒數(shù)中間取值。
aij = 1，元素 i 與元素 j 對(duì)上一層次因素的重要性相同;aij = 3，元素 i 比元素 j 略重要;aij = 5，元素 i 比元素 j 重要;aij = 7， 元素 i 比元素 j 重要得多;aij = 9，元素 i 比元素 j 的極其重要;aij = 2n，n=1,2,3,4，元素 i 與 j 的重要性介于aij = 2n ? 1與aij = 2n + 1之間;
，n=1,2,...,9， 當(dāng)且僅當(dāng)aji = n�！ 〕蓪�(duì)比較矩陣的特點(diǎn)：
。(備注：當(dāng)i=j時(shí)候，aij = 1)
對(duì)例 2， 選拔干部考慮5個(gè)條件：品德x1，才能x2，資歷x3，年齡x4，群眾關(guān)系x5。某決策人用成對(duì)比較法，得到成對(duì)比較陣如下：
a14 = 5 表示品德與年齡重要性之比為 5，即決策人認(rèn)為品德比年齡重要。
5.作一致性檢驗(yàn)
從理論上分析得到：如果A是完全一致的成對(duì)比較矩陣，應(yīng)該有
aijajk = aik。
但實(shí)際上在構(gòu)造成對(duì)比較矩陣時(shí)要求滿足上述眾多等式是不可能的。因此退而要求成對(duì)比較矩陣有一定的一致性，即可以允許成對(duì)比較矩陣存在一定程度的不一致性。
由分析可知，對(duì)完全一致的成對(duì)比較矩陣，其絕對(duì)值最大的特征值等于該矩陣的維數(shù)。對(duì)成對(duì)比較矩陣 的一致性要求，轉(zhuǎn)化為要求： 的絕對(duì)值最大的特征值和該矩陣的維數(shù)相差不大。
檢驗(yàn)成對(duì)比較矩陣 A 一致性的步驟如下：
計(jì)算衡量一個(gè)成對(duì)比矩陣 A (n>1 階方陣)不一致程度的指標(biāo)CI：
其中λmax是矩陣 A 的最大特征值。 注解
從有關(guān)資料查出檢驗(yàn)成對(duì)比較矩陣 A 一致性的標(biāo)準(zhǔn)RI：RI稱為平均隨機(jī)一致性指標(biāo)，它只與矩陣階數(shù) 有關(guān)。按下面公式計(jì)算成對(duì)比較陣 A 的隨機(jī)一致性比率 CR：
。
判斷方法如下： 當(dāng)CR<0.1時(shí)，判定成對(duì)比較陣 A 具有滿意的一致性，或其不一致程度是可以接受的;否則就調(diào)整成對(duì)比較矩陣 A，直到達(dá)到滿意的一致性為止�！ ±鐚�(duì)例 2 的矩陣
計(jì)算得到
,查得RI=1.12，
。
這說明 A 不是一致陣，但 A 具有滿意的一致性，A 的不一致程度是可接受的。
此時(shí)A的最大特征值對(duì)應(yīng)的特征向量為U=(-0.8409,-0.4658,-0.0951,-0.1733,-0.1920)。 這個(gè)向量也是問題所需要的。通常要將該向量標(biāo)準(zhǔn)化：使得它的各分量都大于零，各分量之和等于 1。該特征向量標(biāo)準(zhǔn)化后變成U = (0.4759,0.2636,0.0538,0.0981,0.1087)Z。經(jīng)過標(biāo)準(zhǔn)化后這個(gè)向量稱為權(quán)向量。這里它反映了決策者選拔干部時(shí)，視品德條件最重要，其次是才能，再次是群眾關(guān)系，年齡因素，最后才是資歷。各因素的相對(duì)重要性由權(quán)向量U的各分量所確定。
求A的特征值的方法，可以用 MATLAB 語句求A的特征值:〔Y,D〕=eig(A)，Y為成對(duì)比較陣 的特征值，D
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