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七年級數(shù)學下冊《因式分解》知識點總結
在平凡的學習生活中，相信大家一定都接觸過知識點吧！知識點就是掌握某個問題/知識的學習要點。哪些才是我們真正需要的知識點呢？以下是小編為大家收集的七年級數(shù)學下冊《因式分解》知識點總結，歡迎大家借鑒與參考，希望對大家有所幫助。
七年級數(shù)學下冊《因式分解》知識點總結 篇1
第三章 因式分解
1、因式分解
定義：把一個多項式化成幾個整式乘積的形式，這種變形叫因式分解。 即：多項式幾個整式的積 例：axbx
13131
x（ab） 3
因式分解是對多項式進行的一種恒等變形，是整式乘法的逆過程。
2、因式分解的方法：
�。�1）提公因式法：
①定義：如果多項式的各項有公因式，可以把這個公因式提到括號外面，將多項式寫成因式乘積的形式，這個變形就是提公因式法分解因式。
公因式：多項式的各項都含有的相同的因式。公因式可以是一個數(shù)字或字母，也可以是一個單項式或多項式。
系數(shù)——取各項系數(shù)的最大公約數(shù)
字母——取各項都含有的字母
指數(shù)——取相同字母的最低次冪
例：12a3b3c8a3b2c36a4b2c2的公因式是
解析：從多項式的系數(shù)和字母兩部分來考慮，系數(shù)部分分別是12、—8、6，它們的最大公約數(shù)為2；字母部3232分a3b3c，a3b2c3，a4b2c2都含有因式abc，故多項式的公因式是2abc。
�、谔峁蚴降牟襟E 第一步：找出公因式；
第二步：提公因式并確定另一個因式，提公因式時，可用原多項式除以公因式，所得商即是提公因式后剩下的另一個因式。
注意：提取公因式后，對另一個因式要注意整理并化簡，務必使因式最簡。多項式中第一項有負號的，要先提取符號。
例1：把12ab18ab24ab分解因式。
解析：本題的各項系數(shù)的最大公約數(shù)是6，相同字母的最低次冪是ab，故公因式為6ab。
解：12ab18ab24ab
6ab（2a3b4a2b2）
例2：把多項式3（x4）x（4x）分解因式
解析：由于4x（x4），多項式3（x4）x（4x）可以變形為3（x4）x（x4），我們可以發(fā)現(xiàn)多項
式各項都含有公因式（x4），所以我們可以提取公因式（x4）后，再將多項式寫成積的形式。
解：3（x4）x（4x） =3（x4）x（x4） =（3x）（x4）
例3：把多項式x22x分解因式
解：x22x=（x22x）x（x2） （2）運用公式法
定義：把乘法公式反過來用，就可以用來把某些多項式分解因式，這種分解因式的方法叫做運用公式法。
a、逆用平方差公式：a2b2（ab）（ab）
b、逆用完全平方公式：a22abb2（ab）2
c、逆用立方和公式：ab（ab）（aabb）
d、逆用立方差公式：a3b3（ab）（a2abb2（拓展））
注意：
�、俟街械淖帜缚纱硪粋�數(shù)、一個單項式或一個多項式。
�、谶x擇使用公式的方法：主要從項數(shù)上看，若多項式是二項式可考慮平方差公式；若多項式是三項式，可考慮完全平方公式。
例1：因式分解a214a49
解：a14a49=（a7）2
例2：因式分解a2a（bc）（bc） 解：a2a（bc）（bc）=（abc）
�。�3）分組分解法（拓展）
①將多項式分組后能提公因式進行因式分解； 例：把多項式abab1分解因式
解：abab1=（aba）（b1）=a（b1）（b1）（a1）（b1） ②將多項式分組后能運用公式進行因式分解。
例：將多項式a2ab1b因式分解
解：a2ab1b
=（a2abb）1（ab）1（ab1）（ab1）
2x （4）十字相乘法（形如（pq）xpq（xp）（xq）形式的多項式，可以考慮運用此種方法）
方法：常數(shù)項拆成兩個因數(shù)p和q，這兩數(shù)的和pq為一次項系數(shù)
x2（pq）xpq
x2（pq）xpq（xp）（xq）
例：分解因式x2x30 分解因式x252x100 補充點詳解 補充點詳解
我們可以將—30分解成p×q的形式， 我們可以將100分解成p×q的形式， 使p+q=—1， p×q=—30，我們就有p=—6， 使p+q=52， p×q=100，我們就有p=2， q=5或q=—6，p=5。 q=50或q=2，p=50。
所以將多項式x2（pq）xpq可以分 所以將多項式x2（pq）xpq可以分 解為（xp）（xq） 解為（xp）（xq）
x
x5
x2
—6
x50
x2x30（x6）（x5）
3。因式分解的一般步驟：
x252x100（x50）（x2）
如果多項式有公因式就先提公因式，沒有公因式的多項式就考慮運用公式法；若是四項或四項以上的多項式，通常采用分組分解法，最后運用十字相乘法分解因式。因此，可以概括為：“一提”、“二套”、“三分組”、“四十字”。
注意：因式分解一定要分解到每一個因式都不能再分解為止，否則就是不完全的因式分解，若題目沒有明
確指出在哪個范圍內(nèi)因式分解，應該是指在有理數(shù)范圍內(nèi)因式分解，因此分解因式的結果，必須是幾個整式的積的形式。
例題解析
提公因式法
提取公因式：如果多項式的各項有公因式，一般要將公因式提到括號外面。 確定公因式的方法：
系數(shù)——取多項式各項系數(shù)的最大公約數(shù)；
字母（或多項式因式）——取各項都含有的字母（或多項式因式）的最低次冪。
【例 1】 分解因式：
⑴15aab
2n1
10abba（n為正整數(shù)）
2n
�、�4a2n1b6an2b1（、n為大于1的自然數(shù)）
【鞏固】 分解因式： （x）2n1（xz）（x）2n2（x）2n（z），n為正整數(shù)。
【例 2】 先化簡再求值，xxxx2，其中x2，2
求代數(shù)式的.值：（3x2）2（2x1）（3x2）（2x1）2x（2x1）（23x），其中x。
3
1． 2
22221
【例 3】 已知：bca2，求a（abc）b（cab）c（2b2c2a）的值。
33333
公式法
平方差公式：a2b2（ab）（ab）
�、俟阶筮呅问缴鲜且粋�二項式，且兩項的符號相反；
②每一項都可以化成某個數(shù)或式的平方形式；
�、塾疫吺沁@兩個數(shù)或式的和與它們差的積，相當于兩個一次二項式的積。 完全平方公式：a22abb2（ab）2 a22abb2（ab）2 ①左邊相當于一個二次三項式；
�、谧筮吺啄﹥身椃栂嗤揖軐懗赡硞�數(shù)或式的完全平方式；
分解因式：x3（xz）（za）x2z（zx）x2（zx）（xza）。
③左邊中間一項是這兩個數(shù)或式的積的2倍，符號可正可負；
�、苡疫吺沁@兩個數(shù)或式的和（或差）的完全平方，其和或差由左邊中間一項的符號決定。 一些需要了解的公式：
a3b3（ab）（a2abb2） a3b3（ab）（a2abb2） （ab）3a33a2b3ab2b3 （ab）3a33a2b3ab2b3
七年級數(shù)學下冊《因式分解》知識點總結 篇2
因式分解
1. 因式分解的概念
把一個多項式化成幾個整式的積的形式，這樣的式子變形叫做這個多項式的因式分解，也叫作把這個多項式分解因式。
2. 因式分解與整式乘法的關系
因式分解與整式乘法都是整式變形，兩者互為逆變形。因式分解是將“和差”的形式化為“積”的形式，而整式乘法是將“積”化為“和差”的形式。
注：分解因式必須進行到每一個多項式的因式都不能再分解為止，即分解因式要徹底。
3. 公因式
多項式的各項都含有的公共因式叫做這個多項式各項的公因式。
系數(shù)——取各項系數(shù)的最大公約數(shù)；
字母——取各項都含有的字母；
指數(shù)——取相同字母的最低次冪。
例如：多項式pa+pb+pc中因式p即為多項式各項的公因式。
因式分解的方法
因式分解的方法在初中數(shù)學教材中主要介紹了提公因式法、運用公式法、分組分解法、十字相乘法。
一、提公因式法
1. 定義
如果一個多項式的各項有公因式，可以把這個公因式提出來，從而將多項式化成兩個因式乘積的形式，這種分解因式的方法叫做提公因式法。
各項都含有的`公共的因式叫做這個多項式各項的公因式。公因式可以是單項式，也可以是多項式。
2. 基本步驟
(1)找出公因式；
(2)提公因式并確定另一個因式：
找公因式可按照確定公因式的方法先確定系數(shù)再確定字母；
提公因式并確定另一個因式，注意要確定另一個因式，可用原多項式除以公因式，所得的商即是提公因式后剩下的一個因式，也可用公因式分別除去原多項式的每一項，求的剩下的另一個因式；
提完公因式后，另一因式的項數(shù)與原多項式的項數(shù)相同。
口訣：找準公因式，一次要提盡，全家都搬走，留1把家守，提負要變號，變形看奇偶。
二、運用公式法
1. 定義
如果把乘法公式的等號兩邊互換位置，就可以得到用于分解因式的公式，用來把某些具有特殊形式的多項式分解因式，這種分解因式的方法叫做公式法。
2.平方差公式
兩個數(shù)的平方差，等于這兩個數(shù)的和與這兩個數(shù)的差的積，這個公式就是平方差公式。
3. 完全平方公式
兩個數(shù)的平方和，加上（或者減去）這兩個數(shù)的積的2倍，等于這兩個數(shù)的和（或者差）的平方。
注意：
項數(shù)為三項；有兩項是兩個數(shù)的的平方和，這兩項的符號相同；有一項是這兩個數(shù)的積的兩倍。
當多項式中有公因式時，應該先提出公因式，再用公式分解。
完全平方公式中的a、b可表示單項式，也可以表示多項式。這里只要將多項式看成一個整體就可以了。
分解因式，必須分解到每一個多項式因式都不能再分解為止。
三、分組分解法
如果把一個多項式的項分組并提取公因式后它們的另一個因式正好相同，那么這個多項式就可以用分組分解法來分解因式。
例如am+an+bm+bn，這四項中沒有公因式，所以不能用提取公因式法，再看它又不能用公式法分解因式。
如果我們把它分成兩組(am+an)和(bm+bn)，這兩組能分別用提取公因式的方法分別分解因式。
所以原式=(am+an) + (bm+bn) = a(m+n) + b(m+n)。
再看，這兩項還有公因式(m+n)，因此還能繼續(xù)分解，所以原式=(am+an)+(bm+bn) = a(m+n)+b(m+n) = (m+n)(a+b).
這種利用分組來分解因式的方法叫做分組分解法。
四、十字相乘法
1. 定義
對于x2+px+q型的式子，如果q能分解為數(shù)a，b的積，且有a+b=p時(即a與b和是一次項的系數(shù))，那么x2+(a+b)x+ab=（x+a）(x+b)；或?qū)τ趉x2+mx+n型的式子，如果有k=ab，n=cd，且有ad+bc=m時，那么kx2+mx+n=（ax+c）(bx+d)，這種分解因式的方法叫做十字相乘法。
2. 具體方法
十字左邊相乘等于二次項系數(shù)，右邊相乘等于常數(shù)項，交叉相乘再相加等于一次項。
3. 特點
二次項系數(shù)是1；
常數(shù)項是兩個數(shù)的乘積；
一次項系數(shù)是常數(shù)項的兩因數(shù)的和。
4. 基本步驟
把二次項系數(shù)和常數(shù)項分別分解因數(shù)；
嘗試十字圖，使經(jīng)過十字交叉線相乘后所得的數(shù)的和為一次項系數(shù)；
確定合適的十字圖并寫出因式分解的結果；
檢驗。
例如：把6x+13x + 6分解因式
所以，原式=(2x+3)(3x+2)
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