關(guān)于約數(shù)和倍數(shù)的教學(xué)實(shí)錄
一、教學(xué)內(nèi)容：原通用教材六年制小學(xué)數(shù)學(xué)第十冊(cè)第32—33頁(yè)例1、例2，練習(xí)九第4—7題。
二、教學(xué)目的：使學(xué)生理解約數(shù)和倍數(shù)的意義，初步學(xué)會(huì)尋找一個(gè)數(shù)的約數(shù)和倍數(shù)的方法。
三、教學(xué)過(guò)程：
師：同學(xué)們，我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了自然數(shù)、整數(shù)和整除的知識(shí)�，F(xiàn)在老師想了解一下，你們對(duì)這些知識(shí)學(xué)得怎么樣。請(qǐng)同學(xué)們想一想：什么樣的數(shù)叫做自然數(shù)？
生：用來(lái)表示物體個(gè)數(shù)的1、2、3、4……等都叫做自然數(shù)。
師：很好。那么，有沒(méi)有最小的自然數(shù)呢？
生：有最小的自然數(shù)。
師：最小的自然數(shù)是幾？
生：最小的自然數(shù)是1。
師：有沒(méi)有最大的自然數(shù)？
生：沒(méi)有。
師：為什么？
生：因?yàn)樽匀粩?shù)是無(wú)限的。
師：因?yàn)樽匀粩?shù)的個(gè)數(shù)是無(wú)限的，所以就沒(méi)有最大的自然數(shù)。那么，請(qǐng)大家想一想：零是不是自然數(shù)？
生：零不是自然數(shù)。零是整數(shù)。
師：為什么零不是自然數(shù)？
生：因?yàn)榱悴荒軌虮硎疚矬w的個(gè)數(shù)。
師：零不是通過(guò)數(shù)物體個(gè)數(shù)得來(lái)的，所以零不是自然數(shù)。[出示小黑板]大家來(lái)看看，小黑板上的兩句話對(duì)不對(duì)？先看第一句話。
生：“零和自然數(shù)都是整數(shù)”這句話是對(duì)的。
師：再看第二句。
生：“整數(shù)就是零和自然數(shù)”這句話是錯(cuò)的。因?yàn)槌肆愫妥匀粩?shù)以外，還有我們沒(méi)有學(xué)過(guò)的整數(shù)。
師：對(duì)！除了零和自然數(shù)以外，還有其他的整數(shù)，不過(guò)現(xiàn)在我們還沒(méi)有學(xué)到�，F(xiàn)在請(qǐng)大家想想：什么叫做整除？
生：數(shù)a除以數(shù)b，除得的商正好是整數(shù)而沒(méi)有余數(shù)，我們就說(shuō)，數(shù)a能被數(shù)b整除。
師：這里所說(shuō)的數(shù)a和數(shù)b，一般指的是什么數(shù)？
生：一般指的是自然數(shù)。
師：好。[出示小黑板]現(xiàn)在來(lái)看看這些算式里哪些是屬于整除？
生：“15÷3=5”是整除，“24÷2=12”是整除，“8÷4=2”是整除。
師：那么其他幾個(gè)算式是不是屬于整除？[指“14÷3＝4……2”]這是不是整除？為什么？
生：不是。因?yàn)樗杏鄶?shù)。
師：[指“25÷2=12.5”]這個(gè)算式呢？
生：不是。因?yàn)樗纳淌切?shù)。
師：[指“0.8÷0.4=2”]這個(gè)算式呢？
生：也不是。因?yàn)樗谋怀龜?shù)和除數(shù)都是小數(shù)。
師：對(duì)。只有被除數(shù)、除數(shù)和商都是整數(shù)，而且沒(méi)有余數(shù)，才是整除。大家對(duì)這方面的知識(shí)學(xué)得很好。今天，我們要在這個(gè)基礎(chǔ)上繼續(xù)學(xué)習(xí)約數(shù)和倍數(shù)。[板書“約數(shù)和倍數(shù)”]通過(guò)這節(jié)課的學(xué)習(xí)，要求每個(gè)同學(xué)都要弄清楚什么叫做約數(shù)，什么叫做倍數(shù)，并且要學(xué)會(huì)找一個(gè)數(shù)的約數(shù)和倍數(shù)的方法。
師：[指著小黑板上“15÷3=5”的算式]我們知道，15能被3整除。我們就說(shuō)，15是3的倍數(shù)，3是15的約數(shù)。請(qǐng)同學(xué)們跟老師一起說(shuō)。
師：[合]15是3的倍數(shù)，3是15的約數(shù)。
生：
師：我們還可以這樣說(shuō)：因?yàn)?5能被3整除，所以15是3的倍數(shù)，3是15的約數(shù)。一齊說(shuō)一遍。
師：
生：[合]因?yàn)?5能被3整除，所以15是3的倍數(shù)，3是15的約數(shù)。
師：現(xiàn)在大家再看第二個(gè)能夠整除的算式。[指“24÷2=12”]在這里，哪個(gè)數(shù)是哪個(gè)數(shù)的倍數(shù)？哪個(gè)數(shù)是哪個(gè)數(shù)的約數(shù)？
生：24是2的倍數(shù)，2是24的約數(shù)。
師：[指“8÷4=2”]在這個(gè)算式里呢？
生：8是4的倍數(shù)，4是8的約數(shù)。
師：我們?cè)賮?lái)看這個(gè)算式。[指“0.8÷0.4=2”]能不能說(shuō)0.8是0.4的倍數(shù)，0.4是0.8的約數(shù)呢？
生：不能。因?yàn)槌龜?shù)和被除數(shù)都是小數(shù)。
師：也就是說(shuō)，0.8÷0.4=2這個(gè)算式不是整除，所以不能說(shuō)0.8是0.4的倍數(shù)或0.4是0.8的約數(shù)。我們說(shuō)一個(gè)數(shù)是另一個(gè)數(shù)的倍數(shù)或約數(shù)時(shí)，有一個(gè)前提，那就是要能夠整除。現(xiàn)在你們能不能自己舉出一些例子來(lái)說(shuō)明倍數(shù)和約數(shù)？生(1)：6÷3=2。6是3的倍數(shù)，2是6的……3是6的約數(shù)。
師：6是3的倍數(shù)，3是6的約數(shù)。他剛才還想說(shuō)2是6的約數(shù)。大家想一想，2是不是6的約數(shù)？
生：是的。
師：因?yàn)?÷2=3，所以2也是6的約數(shù)�，F(xiàn)在請(qǐng)哪個(gè)同學(xué)再來(lái)舉幾個(gè)例子。生(2)：60÷5=12，60是5的倍數(shù)，5是60的約數(shù)。
生(3)：24÷8=3，24是8的倍數(shù)，8是24的約數(shù)。
師：現(xiàn)在請(qǐng)大家想想：什么叫做約數(shù)？什么叫做倍數(shù)？生(1)：在整除的情況下，被除數(shù)是除數(shù)的倍數(shù)，除數(shù)是被除數(shù)的約數(shù)。生(2)：a能被b整除，a是b的倍數(shù)，b是a的約數(shù)。
師：現(xiàn)在請(qǐng)大家把課本翻到第32頁(yè)，看看書上是怎樣說(shuō)的，然后再把它們讀一遍。
生：[齊]如果數(shù)a能被數(shù)b整除，a就叫做b的倍數(shù)，b就叫做a的約數(shù)。
師：[出示小黑板]請(qǐng)看下面的說(shuō)法對(duì)不對(duì)。第一句是“21是7的倍數(shù)，7是21的約數(shù)。”這句話對(duì)不對(duì)？
生：[齊]對(duì)。
師：再看第二句：“6是6的倍數(shù)，6也是6的約數(shù)�！边@句話對(duì)不對(duì)。
生：這句話是對(duì)的。
師：為什么？
生：因?yàn)?÷6=1，6能被6整除，所以6是6的倍數(shù)，6也是6的約數(shù)。
師：再看這一句：“20是倍數(shù)，10是約數(shù)�！边@種說(shuō)法對(duì)不對(duì)？
生：不對(duì)。因?yàn)樗桓嬖V我們：“20是倍數(shù)，10是約數(shù)�！睕](méi)有告訴我們20是哪個(gè)數(shù)的倍數(shù)，10是哪個(gè)數(shù)的約數(shù)。
師：是的。光說(shuō)一個(gè)數(shù)是倍數(shù)或一個(gè)數(shù)是約數(shù)，這種說(shuō)法是很不清楚的。20是4的倍數(shù)，20是40的約數(shù)。所以今后在說(shuō)約數(shù)或倍數(shù)的時(shí)候，一定要說(shuō)清楚哪個(gè)數(shù)是哪個(gè)數(shù)的倍數(shù)，哪個(gè)數(shù)是哪個(gè)數(shù)的約數(shù)。[繼續(xù)出示小黑板，讓學(xué)生判斷各組數(shù)中，哪個(gè)數(shù)是另一個(gè)數(shù)的約數(shù)，哪個(gè)數(shù)是另一個(gè)數(shù)的倍數(shù)]第一組：72和8。
生：72是8的倍數(shù)，8是72的約數(shù)。
師：第二組：140和20。
生：140是20的倍數(shù)，20是140的約數(shù)。
師：第三組：35和105。
生：105是35的倍數(shù)，35是105的約數(shù)。
師：第四組：50和1000。
生：1000是50的倍數(shù)，50是1000的約數(shù)。
師：說(shuō)得很好�，F(xiàn)在我們要學(xué)習(xí)尋找約數(shù)的方法。比如，要找15的約數(shù)有哪幾個(gè)，24的約數(shù)有哪幾個(gè)。[出示例1]要找15的約數(shù)有哪幾個(gè)，可以這樣想：15分別能被哪些數(shù)整除？可以從最小的數(shù)找起。你們找一找。
生(1)：15能被1整除。[教師板書：1]
生(2)：15能被3整除。[教師板書：3]
生(3)：15能被5整除。[教師板書：5]
生(4)：15能被15整除。[教師板書：15]
師：15除了能被這4個(gè)數(shù)整除以外，還能不能被其他什么數(shù)整除？
生：[齊]沒(méi)有了。
師：這就是說(shuō)，15只能被1、3、5、15這四個(gè)數(shù)整除。那我們就說(shuō)，15的約數(shù)有1、3、5、15四個(gè)。[在1、3、5、15前板書：“15的約數(shù)有：”]會(huì)找一個(gè)數(shù)的約數(shù)了嗎？用這種方法找一找，24的約數(shù)有哪幾個(gè)？從小到大開(kāi)始去找。
生(1)：24的約數(shù)有1、2、3、4、6、8、24。[教師板書：l、2、3、4、6、8、24]
生(2)：還有12。[教師在“8”和“24”之間板書“12”]
師：剛才我們用除的方法來(lái)找15和24的約數(shù)。用這種方法去找約數(shù)，比較慢。如果一個(gè)數(shù)的約數(shù)比較多的話，就容易把其中的某些約數(shù)漏掉，像剛才那位同學(xué)找24的約數(shù)就漏掉了12。
請(qǐng)同學(xué)們想想，能不能找出一種既快又不容易漏掉的好方法？
生：可以一對(duì)一對(duì)地找。例如用24除以1，就得到24。
師：這就是說(shuō)，在整除的情況下，除數(shù)和商都是被除數(shù)的約數(shù)，這實(shí)際上就是用乘的方法去找。比如15，想幾和幾相乘得15，1×15=15，3×5=15，就得到15的約數(shù)有1、15、3、5。[在15的約數(shù)旁邊板書：]下面請(qǐng)同學(xué)們用這種方法找100的約數(shù)有哪幾個(gè)。
生(1)：1和100，2和50，4和25，5和20。
生(2)：還有10和10。
[教師先后板書：]
師：最后找的兩個(gè)因數(shù)都是10，我們寫約數(shù)時(shí)只寫一個(gè)10。
師：請(qǐng)同學(xué)們?cè)倏匆豢矗@些數(shù)的約數(shù)有沒(méi)有全部找出來(lái)？
生：[齊]全部找出來(lái)了。
師：從剛才找約數(shù)的過(guò)程中，你發(fā)現(xiàn)了什么？[略等片刻]最小的約數(shù)都是幾？最大的約數(shù)都是什么樣的數(shù)？
生：最小的約數(shù)都是1。15的約數(shù)中最大的是15，24的約數(shù)中最大的是24，100的約數(shù)中最大的是100。
師：這就是說(shuō)，在一個(gè)數(shù)的所有約數(shù)中，最小的約數(shù)是1，最大的約數(shù)是它的本身。因?yàn)橐粋�(gè)數(shù)的約數(shù)不會(huì)小于1，也不會(huì)大于它的本身，所以一個(gè)數(shù)的約數(shù)的個(gè)數(shù)是有限的。[出示小黑板]下面請(qǐng)同學(xué)們看一看這些說(shuō)法對(duì)不對(duì)？應(yīng)該怎樣說(shuō)才對(duì)？
師：[讀題]42的約數(shù)有2、3、6、7、14、21。
生：錯(cuò)的。42的約數(shù)還有1和42。
師：這句話錯(cuò)就錯(cuò)在少了42最小的約數(shù)1和42最大的約數(shù)42。我們?cè)趯ふ乙粋�(gè)數(shù)的約數(shù)的時(shí)候，很容易會(huì)把最小的約數(shù)1和最大的約數(shù)——即這個(gè)數(shù)的本身給忘了。請(qǐng)大家要注意。再看下面一句：“25的約數(shù)有1、5、5、25。”這句話對(duì)不對(duì)？
生：這句話也是錯(cuò)的。應(yīng)該說(shuō)，25的約數(shù)有1、5、25。
師：這句話里多了一個(gè)5，就重復(fù)了。下面請(qǐng)哪個(gè)同學(xué)說(shuō)說(shuō)，10的約數(shù)有哪幾個(gè)？
生：10的約數(shù)有1、2、5、10。
師：13的約數(shù)呢？
生：13的約數(shù)有1和13。
師：36的約數(shù)呢？
生(1)：36的約數(shù)有1、2、3、6、8、12、24、36。
師：他說(shuō)得對(duì)不對(duì)？
生(2)：他說(shuō)錯(cuò)了。應(yīng)該是，36的約數(shù)有1、36；2、18；3、12；4、9；6。
師：對(duì)。一對(duì)一對(duì)找一個(gè)數(shù)的約數(shù)就不容易發(fā)生錯(cuò)誤。現(xiàn)在再來(lái)學(xué)習(xí)尋找倍數(shù)的方法。[出示例2]2的倍數(shù)有哪些？3的倍數(shù)有哪些？要找一個(gè)數(shù)的倍數(shù)，可以這樣來(lái)想：這個(gè)數(shù)的1倍是多少，2倍是多少，3信是多少，依此類推�，F(xiàn)在大家先來(lái)找2的倍數(shù)。
生：有2、4、6、8、10，等等。[教師板書：2、4、6、8、10]
師：還有多少？能把它們?nèi)繉懴聛?lái)嗎？
生：還有很多很多，不能全部寫下來(lái)。
師：那我們就在后面用省略號(hào)表示。[在“10”的后面板書：……]讀的時(shí)候，這里的省略號(hào)可以讀成“等等”。現(xiàn)在再來(lái)看3的倍數(shù)。
生：3的倍數(shù)有3、6、9、12，等等。[教師板書：3、6、9、12、……]
師：為什么前面找約數(shù)的時(shí)候，最后用句號(hào)表示。而在這里找倍數(shù)時(shí)，后面用省略號(hào)來(lái)表示？
生：因?yàn)?5、24和100的約數(shù)全找出來(lái)了，而2和3的倍數(shù)還沒(méi)有寫完。
師：一個(gè)數(shù)的約數(shù)的個(gè)數(shù)是有限的，全都找出來(lái)了，最后就用句號(hào)表示。而一個(gè)數(shù)的倍數(shù)的個(gè)數(shù)是無(wú)限的，不可能全部找出來(lái)，所以后面用省略號(hào)來(lái)表示�，F(xiàn)在來(lái)看看，一個(gè)數(shù)的最小的倍數(shù)是什么樣的數(shù)？
生：一個(gè)數(shù)最小的倍數(shù)是它本身。
師：有沒(méi)有最大的倍數(shù)呢？
生：沒(méi)有。
師：為什么？
生：因?yàn)樽匀粩?shù)是無(wú)限的。
師：因?yàn)樽匀粩?shù)的個(gè)數(shù)是無(wú)限的，所以一個(gè)數(shù)的倍數(shù)的個(gè)數(shù)也是無(wú)限的，最小的倍數(shù)是它本身，沒(méi)有最大的倍數(shù)。[出示小黑板]看看下面的說(shuō)法對(duì)不對(duì)？把不對(duì)的地方改過(guò)來(lái)。先看第一句：5的倍數(shù)有10、15、20、25，等等。
生：倍數(shù)里少個(gè)5。應(yīng)該說(shuō)，5的倍數(shù)有5、10、15、20、25，等等。
師：對(duì)。再看下面一句：6的倍數(shù)有6、12、24、48，等等。
生：這一句也錯(cuò)的。在12和24中間，少了個(gè)18。
師：對(duì)。48后面用了省略號(hào)，表示48后面還有很多6的倍數(shù)沒(méi)寫出來(lái)；48前面沒(méi)有省略號(hào)，在48前面6的倍數(shù)就要一個(gè)不漏地按順序?qū)懗鰜?lái)。再看第三句：7的倍數(shù)有7、14、21、28。
生：錯(cuò)的。在28后面不應(yīng)該用句號(hào)，應(yīng)該用省略號(hào)。
師：請(qǐng)看第四句：10以內(nèi)3的倍數(shù)有3、6、9。
生：這一句是對(duì)的。
師：這里用了句號(hào)也是對(duì)的嗎？為什么？
生：是對(duì)的，因?yàn)?0以內(nèi)3的倍數(shù)到9就為止了。
師：很好。因?yàn)轭}目限制了是10以內(nèi)的。10以內(nèi)的3的倍數(shù)只有3個(gè)，所以在最后用了句號(hào)。現(xiàn)在請(qǐng)同學(xué)們分別說(shuō)出10、13、36的倍數(shù)有哪些，可以按從小到大的順序先說(shuō)出5個(gè)，后面再用“等等”表示。
生(1)：10的倍數(shù)有10、20、30、40、50，等等。
生(2)：13的倍數(shù)有13、26、39、52、65，等等。
生(3)：36的倍數(shù)有36、72、108、144、180，等等。
師：剛才我們找出一個(gè)數(shù)的約數(shù)和倍數(shù)，都是用文字?jǐn)⑹霰磉_(dá)出來(lái)的。除了用文字?jǐn)⑹霰磉_(dá)外，還可以用圖來(lái)表示�，F(xiàn)在請(qǐng)大家把課本翻到第32頁(yè)，看例1、例2下面的圖，這就是用圖來(lái)表示一個(gè)數(shù)的約數(shù)或倍數(shù)的。這種方法是，先畫一個(gè)圈，圈的上面注明是哪個(gè)數(shù)的約數(shù)或倍數(shù)，然后把這個(gè)數(shù)的約數(shù)或倍數(shù)填在這個(gè)圈里。填寫時(shí)，數(shù)和數(shù)之間要空開(kāi)一點(diǎn)，不能緊挨在一起。在表示倍數(shù)的圖里，還有許多倍數(shù)不可能全寫出來(lái)，就在最后用省略號(hào)表示。現(xiàn)在請(qǐng)把課本翻到第33頁(yè)，請(qǐng)大家用剛才講的方法，把18的約數(shù)、20以內(nèi)4的倍數(shù)和15的倍數(shù)，分別填在第6題的三個(gè)圈里。
[指名三人分別填在小黑板上，其他學(xué)生填在書上。填好后，出示小黑板進(jìn)行評(píng)講。然后引導(dǎo)學(xué)生閱讀課文，齊讀第32頁(yè)的第一節(jié)和例1、例2后面的結(jié)論]
師：大家還有什么問(wèn)題嗎？如果沒(méi)有問(wèn)題了，有兩道題請(qǐng)大家回答一下。先看課本第34頁(yè)的第7題。說(shuō)一說(shuō)，在下面的數(shù)中，哪些是60的約數(shù)，哪些是6的倍數(shù)？
生：[看課本回答]3、4、12、60是60的約數(shù)；12、24、60是6的倍數(shù)。
師：[出示小黑板]在下面的幾個(gè)數(shù)中，哪個(gè)數(shù)是哪個(gè)數(shù)的約數(shù)？哪個(gè)數(shù)是哪個(gè)數(shù)的倍數(shù)？
生(1)：4是4、8、12、24的約數(shù)。
生(2)：4還是36、60的約數(shù)。
生(3)：36是4、6、12的倍數(shù)。
生(4)：36也是36的倍數(shù)。
生(5)：12是4、6、12的倍數(shù)，12是12、24、36、60的約數(shù)。
……
師：通過(guò)這堂課的學(xué)習(xí)，我們懂得了什么？
生(1)：我懂得了什么叫做約數(shù)，什么叫做倍數(shù)。
生(2)：我懂得了一個(gè)數(shù)的約數(shù)的個(gè)數(shù)是有限的，其中最小的約數(shù)是1，最大的約數(shù)是它本身。
生(3)：我還懂得了一個(gè)數(shù)的倍數(shù)的個(gè)數(shù)是無(wú)限的，最小的倍數(shù)是它本身。
生(4)：我還學(xué)會(huì)了找一個(gè)數(shù)的約數(shù)和倍數(shù)的方法。
師：好�；厝ヒ院蟀堰@部分課文再看看，并把第34頁(yè)的第8題做在自己的本子上。
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