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高一數學下冊知識點總結分享最新
總結是指對某一階段的工作、學習或思想中的經驗或情況加以總結和概括的書面材料,通過它可以正確認識以往學習和工作中的優(yōu)缺點,因此我們需要回頭歸納,寫一份總結了。我們該怎么去寫總結呢?下面是小編整理的高一數學下冊知識點總結分享最新,歡迎大家借鑒與參考,希望對大家有所幫助。
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同角三角函數基本關系
⒈同角三角函數的基本關系式
倒數關系:
tanα·cotα=1
sinα·cscα=1
cosα·secα=1
商的關系:
sinα/cosα=tanα=secα/cscα
cosα/sinα=cotα=cscα/secα
平方關系:
sin^2(α)+cos^2(α)=1
1+tan^2(α)=sec^2(α)
1+cot^2(α)=csc^2(α)
同角三角函數關系六角形記憶法
六角形記憶法:(參看圖片或參考資料鏈接)
構造以"上弦、中切、下割;左正、右余、中間1"的正六邊形為模型。
。1)倒數關系:對角線上兩個函數互為倒數;
。2)商數關系:六邊形任意一頂點上的函數值等于與它相鄰的兩個頂點上函數值的乘積。
(主要是兩條虛線兩端的三角函數值的乘積)。由此,可得商數關系式。
。3)平方關系:在帶有陰影線的'三角形中,上面兩個頂點上的三角函數值的平方和等于下面頂點上的三角函數值的平方。
兩角和差公式
⒉兩角和與差的三角函數公式
sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ
sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ
cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ
cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ
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首先我們知道如果a=p/q,q和p都是整數,則x^(p/q)=q次根號(x的p次方),如果q是奇數,函數的定義域是R,如果q是偶數,函數的定義域是[0,+∞)。當指數n是負整數時,設a=-k,則x=1/(x^k),顯然x≠0,函數的定義域是(-∞,0)∪(0,+∞)。因此可以看到x所受到的限制來源于兩點,一是有可能作為分母而不能是0,一是有可能在偶數次的'根號下而不能為負數,那么我們就可以知道:
排除了為0與負數兩種可能,即對于x>0,則a可以是任意實數;
排除了為0這種可能,即對于x<0和x>0的所有實數,q不能是偶數;
排除了為負數這種可能,即對于x為大于且等于0的所有實數,a就不能是負數。
總結起來,就可以得到當a為不同的數值時,冪函數的定義域的不同情況如下:如果a為任意實數,則函數的定義域為大于0的所有實數;
如果a為負數,則x肯定不能為0,不過這時函數的定義域還必須根據q的奇偶性來確定,即如果同時q為偶數,則x不能小于0,這時函數的定義域為大于0的所有實數;如果同時q為奇數,則函數的定義域為不等于0的所有實數。
在x大于0時,函數的值域總是大于0的實數。
在x小于0時,則只有同時q為奇數,函數的值域為非零的實數。
而只有a為正數,0才進入函數的值域。
由于x大于0是對a的任意取值都有意義的,因此下面給出冪函數在第一象限的各自情況。
可以看到:
。1)所有的圖形都通過(1,1)這點。
。2)當a大于0時,冪函數為單調遞增的,而a小于0時,冪函數為單調遞減函數。
。3)當a大于1時,冪函數圖形下凹;當a小于1大于0時,冪函數圖形上凸。
。4)當a小于0時,a越小,圖形傾斜程度越大。
(5)a大于0,函數過(0,0);a小于0,函數不過(0,0)點。
。6)顯然冪函數無界。
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1、對數的概念
。1)對數的定義:
如果ax=N(a>0且a≠1),那么數x叫做以a為底N的對數,記作x=logaN,其中a叫做對數的底數,N叫做真數。當a=10時叫常用對數。記作x=lg_N,當a=e時叫自然對數,記作x=ln_N.
。2)對數的常用關系式(a,b,c,d均大于0且不等于1):
、賚oga1=0.
、趌ogaa=1.
、蹖岛愕仁剑篴logaN=N.
二、解題方法
1、在運用性質logaMn=nlogaM時,要特別注意條件,在無M>0的條件下應為logaMn=nloga|M|(n∈N*,且n為偶數)。
2、對數值取正、負值的規(guī)律:
當a>1且b>1,或0
當a>1且0
3、對數函數的定義域及單調性:
在對數式中,真數必須大于0,所以對數函數y=logax的定義域應為{x|x>0}。對數函數的單調性和a的值有關,因而,在研究對數函數的單調性時,要按0
4、對數式的'化簡與求值的常用思路
。1)先利用冪的運算把底數或真數進行變形,化成分數指數冪的形式,使冪的底數最簡,然后正用對數運算法則化簡合并。
。2)先將對數式化為同底數對數的和、差、倍數運算,然后逆用對數的運算法則,轉化為同底對數真數的積、商、冪再運算。
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定義:
x軸正向與直線向上方向之間所成的角叫直線的傾斜角。特別地,當直線與x軸平行或重合時,我們規(guī)定它的傾斜角為0度。
范圍:
傾斜角的取值范圍是0°≤α<180°。
理解:
。1)注意“兩個方向”:直線向上的方向、x軸的正方向;
。2)規(guī)定當直線和x軸平行或重合時,它的'傾斜角為0度。
意義:
、僦本的傾斜角,體現了直線對x軸正向的傾斜程度;
、谠谄矫嬷苯亲鴺讼抵,每一條直線都有一個確定的傾斜角;
③傾斜角相同,未必表示同一條直線。
公式:
k=tanα
k>0時α∈(0°,90°)
k<0時α∈(90°,180°)
k=0時α=0°
當α=90°時k不存在
ax+by+c=0(a≠0)傾斜角為A,則tanA=-a/b,A=arctan(-a/b)
當a≠0時,傾斜角為90度,即與X軸垂直
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圓的方程定義:
圓的標準方程(x-a)2+(y-b)2=r2中,有三個參數a、b、r,即圓心坐標為(a,b),只要求出a、b、r,這時圓的方程就被確定,因此確定圓方程,須三個獨立條件,其中圓心坐標是圓的定位條件,半徑是圓的定形條件。
直線和圓的位置關系:
1、直線和圓位置關系的判定方法一是方程的觀點,即把圓的方程和直線的方程聯立成方程組,利用判別式Δ來討論位置關系。
①Δ>0,直線和圓相交。②Δ=0,直線和圓相切。③Δ<0,直線和圓相離。
方法二是幾何的觀點,即把圓心到直線的距離d和半徑R的大小加以比較。
、賒R,直線和圓相離。
2、直線和圓相切,這類問題主要是求圓的切線方程。求圓的切線方程主要可分為已知斜率k或已知直線上一點兩種情況,而已知直線上一點又可分為已知圓上一點和圓外一點兩種情況。
3、直線和圓相交,這類問題主要是求弦長以及弦的中點問題。
切線的性質
、艌A心到切線的距離等于圓的半徑;
⑵過切點的半徑垂直于切線;
、墙涍^圓心,與切線垂直的直線必經過切點;
、冉涍^切點,與切線垂直的直線必經過圓心;
當一條直線滿足
。1)過圓心;
。2)過切點;
。3)垂直于切線三個性質中的兩個時,第三個性質也滿足。
切線的.判定定理
經過半徑的外端點并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線。
切線長定理
從圓外一點作圓的兩條切線,兩切線長相等,圓心與這一點的連線平分兩條切線的夾角。
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1、集合的含義
2、集合的中元素的三個特性:
。1)元素的確定性如:世界上的'山
。2)元素的互異性如:由HAPPY的字母組成的集合{H,A,P,Y}
。3)元素的無序性:如:{a,b,c}和{a,c,b}是表示同一個集合
3、集合的表示:{…}如:{我校的籃球隊員},{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋}
(1)用拉丁字母表示集合:A={我校的籃球隊員},B={1,2,3,4,5}
。2)集合的表示方法:列舉法與描述法。
注意:常用數集及其記法:
非負整數集(即自然數集)記作:N
正整數集N*或N+整數集Z有理數集Q實數集R
1)列舉法:{a,b,c……}
2)描述法:將集合中的元素的公共屬性描述出來,寫在大括號內表示集合的方法。{xR|x-3>2},{x|x-3>2}
3)語言描述法:例:{不是直角三角形的三角形}
4)Venn圖:
4、集合的分類:
(1)有限集含有有限個元素的集合
。2)無限集含有無限個元素的集合
。3)空集不含任何元素的集合例:{x|x2=-5}
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1、函數的基本概念
(1)函數的定義:設A、B是非空數集,如果按照某種確定的對應關系f,使對于集合A中的任意一個數x,在集合B中都有確定的數f(x)和它對應,那么稱f:A→B為從集合A到集合B的一個函數,記作:y=f(x),x∈A.
。2)函數的定義域、值域
在函數y=f(x),x∈A中,x叫自變量,x的取值范圍A叫做定義域,與x的值對應的y值叫函數值,函數值的集合{f(x)|x∈A}叫值域。值域是集合B的子集。
。3)函數的三要素:定義域、值域和對應關系。
。4)相等函數:如果兩個函數的定義域和對應關系完全一致,則這兩個函數相等;這是判斷兩函數相等的'依據。
2、函數的三種表示方法
表示函數的常用方法有:解析法、列表法、圖象法。
3、映射的概念
一般地,設A、B是兩個非空的集合,如果按某一個確定的對應關系f,使對于集合A中的任意一個元素x,在集合B中都有確定的元素y與之對應,那么就稱對應f:A→B為從集合A到集合B的一個映射。
注意:
一個方法
求復合函數y=f(t),t=q(x)的定義域的方法:
若y=f(t)的定義域為(a,b),則解不等式得a
兩個防范
。1)解決函數問題,必須優(yōu)先考慮函數的定義域。
。2)用換元法解題時,應注意換元前后的等價性。
三個要素
函數的三要素是:定義域、值域和對應關系。值域是由函數的定義域和對應關系所確定的。兩個函數的定義域和對應關系完全一致時,則認為兩個函數相等。函數是特殊的映射,映射f:A→B的三要素是兩個集合A、B和對應關系f.
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一、集合(jihe)有關概念
1、集合的含義:某些指定的對象集在一起就成為一個集合,其中每一個對象叫元素。
2、集合的中元素的三個特性:
1、元素的確定性;
2、元素的互異性;
3、元素的無序性
說明:(1)對于一個給定的集合,集合中的元素是確定的,任何一個對象或者是或者不是這個給定的集合的元素。
。2)任何一個給定的集合中,任何兩個元素都是不同的對象,相同的對象歸入一個集合時,僅算一個元素。
(3)集合中的元素是平等的,沒有先后順序,因此判定兩個集合是否一樣,僅需比較它們的元素是否一樣,不需考查排列順序是否一樣。
。4)集合元素的'三個特性使集合本身具有了確定性和整體性。
3、集合的表示:{…}如{我校的籃球隊員},{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋
記作a∈A,相反,a不屬于集合A記作a?A
列舉法:把集合中的元素一一列舉出來,然后用一個大括號括上。
描述法:將集合中的元素的公共屬性描述出來,寫在大括號內表示集合的方法。用確定的條件表示某些對象是否屬于這個集合的方法。
、僬Z言描述法:例:{不是直角三角形的。三角形}
、跀祵W式子描述法:例:不等式x-3>2的解集是{x?R|x-3>2}或{x|x-3>2}
4、集合的分類:
1、有限集含有有限個元素的集合
2、無限集含有無限個元素的集合
3、空集不含任何元素的集合例:{x|x2=-5}二、集合間的基本關系1.“包含”關系—子集注意:有兩種可能(1)A是B的一部分,;(2)A與B是同一集合。反之:集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,記作AB或BA2.“相等”關系(5≥5,且5≤5,則5=5)實例:設A={x|x2-1=0}B={-1,1}“元素相同”
結論:對于兩個集合A與B,如果集合A的任何一個元素都是集合B的元素,同時,集合B的任何一個元素都是集合A的元素,我們就說集合A等于集合B,即:A=B
①任何一個集合是它本身的子集。A?A
、谡孀蛹:如果A?B,且A?B那就說集合A是集合B的真子集,記作AB(或BA)
、廴绻鸄?B,B?C,那么A?C
、苋绻鸄?B同時B?A那么A=B
3、不含任何元素的集合叫做空集,記為Φ
規(guī)定:空集是任何集合的子集,空集是任何非空集合的真子集。
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本節(jié)主要包括函數的模型、函數的應用等知識點。主要是理解函數解應用題的一般步驟靈活利用函數解答實際應用題。
1、常見的函數模型有一次函數模型、二次函數模型、指數函數模型、對數函數模型、分段函數模型等。
2、用函數解應用題的基本步驟是:
。1)閱讀并且理解題意。(關鍵是數據、字母的'實際意義);
(2)設量建模;
。3)求解函數模型;
。4)簡要回答實際問題。
誤區(qū)提醒
1、求解應用性問題時,不僅要考慮函數本身的定義域,還要結合實際問題理解自變量的取值范圍。
2、求解應用性問題時,首先要弄清題意,分清條件和結論,抓住關鍵詞和量,理順數量關系,然后將文字語言轉化成數學語言,建立相應的數學模型。
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