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求不定積分方法總結(jié)
總結(jié)是把一定階段內(nèi)的有關(guān)情況分析研究，做出有指導(dǎo)性結(jié)論的書(shū)面材料，它是增長(zhǎng)才干的一種好辦法，不如立即行動(dòng)起來(lái)寫(xiě)一份總結(jié)吧�？偨Y(jié)怎么寫(xiě)才是正確的呢？下面是小編為大家整理的求不定積分方法總結(jié)，歡迎閱讀與收藏。
1、不定積分的線性性
成立的前提是，f和g都有不定積分！
這個(gè)性質(zhì)在計(jì)算不定積分時(shí)，經(jīng)常用！一般都是把難計(jì)算的不定積分，轉(zhuǎn)化為一個(gè)個(gè)容易計(jì)算的不定積分。例題就不說(shuō)了，看書(shū)。
2、分部積分法
這是一個(gè)很有效的計(jì)算積分的辦法！一定要掌握！
從本師的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)來(lái)看，初學(xué)者往往在兩個(gè)地方犯難：
（1）不知道怎么湊微分
�。�2）不知道把誰(shuí)當(dāng)u，誰(shuí)當(dāng)v
3、有理函數(shù)的積分
有理函數(shù)的積分，是一類常見(jiàn)的不定積分。它有一套通用的辦法求解，并且很多不定積分，經(jīng)過(guò)適當(dāng)?shù)膿Q元后，可以轉(zhuǎn)化成有理函數(shù)的不定積分來(lái)計(jì)算！所以，這種類型的不定積分，一定要掌握！
其中P和Q是x的多項(xiàng)式函數(shù)。
這個(gè)類型的積分，主要是通過(guò)拆項(xiàng)，化成簡(jiǎn)單的不定積分來(lái)計(jì)算。
下面的步驟，其實(shí)就是教你怎么拆項(xiàng)。
(1)用輾轉(zhuǎn)相除法，將被積函數(shù)化成一個(gè)多項(xiàng)式和“真分式”的和：
(2)h(x)是多項(xiàng)式函數(shù)，積分不要太簡(jiǎn)單！現(xiàn)在就是要計(jì)算右邊這個(gè)積分了。
(3)對(duì)Q(x)因式分解。因?yàn)槲覀兛紤]的是實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式，多項(xiàng)式Q(x)一定能分解成下面兩種類型的因子的乘積：
(4)利用待定系數(shù)法，將r/Q拆分，拆成簡(jiǎn)單的分式的和。
舉例說(shuō)明：
然后，右邊同分，比較等式兩邊分子的系數(shù)。
這樣就會(huì)得到待定系數(shù)的一個(gè)一次方程組，解之（非常簡(jiǎn)單），算出待定系數(shù)。
4、第一類換元（湊分法）u=g(x)，主要是要記牢常見(jiàn)的求導(dǎo)公式，然后多從右往左看。
5、第二類換元，x=u(t)
要注意，u(t)必須是單調(diào)的！所以一般要指明t的取值范圍。這里，換元的技巧非常多，本師也只掌握了其中一些常用的。
(1)倒代換x=1/t
使用的對(duì)象特征很明顯
來(lái)個(gè)例子
t<0時(shí)，類似處理，最后再下結(jié)論。
(2)
這種形狀的積分，直接換元掉根號(hào)。
例子說(shuō)明一切
(3)三角換元
這是讓大家又愛(ài)又恨的積分法。愛(ài)是因?yàn)樗鼘?shí)在是太好用了，恨是因?yàn)樗鼘?shí)在是太多選擇太多恒等變化了！
這種情況，用合適的三角函數(shù)去換元。注意，換元的目的，在這里是為了去掉根號(hào)，以便達(dá)到簡(jiǎn)化被積函數(shù)的目的。知道這一點(diǎn)，你就知道如何選擇三角函數(shù)了。另外，注意新變量的取值范圍，以保證單調(diào)性。
書(shū)上有太多這樣的例題，這里不列舉了。
下面主要和大家分享下三角函數(shù)有理式（三角函數(shù)的乘除）的計(jì)算技巧。
(i)遇奇次冪，拿一個(gè)出來(lái)，湊到微分里
(ii)都是偶數(shù)次冪，倍角公式降冪
(iii)積化和差公式
(iv)當(dāng)三角函數(shù)冪次較低時(shí)，使用萬(wàn)能公式換元
(v)配湊法
解之，得I_1，I_2.
不定積分
1、原函數(shù)存在定理
定理如果函數(shù)f(x)在區(qū)間I上連續(xù)，那么在區(qū)間I上存在可導(dǎo)函數(shù)F（x），使對(duì)任一x∈I都有F’（x）=f(x)；簡(jiǎn)單的說(shuō)連續(xù)函數(shù)一定有原函數(shù)。
分部積分法
如果被積函數(shù)是冪函數(shù)和正余弦或冪函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的乘積，就可以考慮用分部積分法，并設(shè)冪函數(shù)和指數(shù)函數(shù)為u，這樣用一次分部積分法就可以使冪函數(shù)的冪降低一次。如果被積函數(shù)是冪函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)或冪函數(shù)和反三角函數(shù)的乘積，就可設(shè)對(duì)數(shù)和反三角函數(shù)為u。
2、對(duì)于初等函數(shù)來(lái)說(shuō)，在其定義區(qū)間上，它的原函數(shù)一定存在，但原函數(shù)不一定都是初等函數(shù)。
定積分
1、定積分解決的典型問(wèn)題
�。�1）曲邊梯形的面積
�。�2）變速直線運(yùn)動(dòng)的路程
2、函數(shù)可積的充分條件
定理設(shè)f(x)在區(qū)間[a，b]上連續(xù)，則f(x)在區(qū)間[a，b]上可積，即連續(xù)=>可積。
定理設(shè)f(x)在區(qū)間[a，b]上有界，且只有有限個(gè)間斷點(diǎn)，則f(x)在區(qū)間[a，b]上可積。
3、定積分的若干重要性質(zhì)
性質(zhì)如果在區(qū)間[a，b]上f(x)≥0則∫abf(x)dx≥0。
推論如果在區(qū)間[a，b]上f(x)≤g(x)則∫abf(x)dx≤∫abg(x)dx。
推論|∫abf(x)dx|≤∫ab|f(x)|dx。
性質(zhì)設(shè)M及m分別是函數(shù)f(x)在區(qū)間[a，b]上的最大值和最小值，則m（b-a）≤∫abf(x)dx≤M（b-a），該性質(zhì)說(shuō)明由被積函數(shù)在積分區(qū)間上的最大值及最小值可以估計(jì)積分值的大致范圍。
性質(zhì)（定積分中值定理）如果函數(shù)f(x)在區(qū)間[a，b]上連續(xù)，則在積分區(qū)間[a，b]上至少存在一個(gè)點(diǎn)ξ，使下式成立：∫abf(x)dx=f(ξ)（b-a）。
4、關(guān)于廣義積分
設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間[a，b]上除點(diǎn)c（a<c<b）外連續(xù)，而在點(diǎn)c的鄰域內(nèi)無(wú)界，如果兩個(gè)廣義積分∫acf(x)dx與∫cbf(x)dx都收斂，則定義∫abf(x)dx=∫acf(x)dx+∫cbf(x)dx，否則（只要其中一個(gè)發(fā)散）就稱廣義積分∫abf(x)dx發(fā)散。
定積分的應(yīng)用
1求平面圖形的面積（曲線圍成的面積）
直角坐標(biāo)系下（含參數(shù)與不含參數(shù)）
極坐標(biāo)系下（r，θ，x=rcosθ，y=rsinθ）(扇形面積公式S=R2θ/2)
旋轉(zhuǎn)體體積（由連續(xù)曲線直線及坐標(biāo)軸所圍成的面積繞坐標(biāo)軸旋轉(zhuǎn)而成）（且體積V=∫abπ[f(x)]2dx，其中f(x)指曲線的方程）
平行截面面積為已知的立體體積（V=∫abA（x）dx，其中A（x）為截面面積）
功水壓力引力
函數(shù)的平均值（平均值y=1/(b-a)x∫abf(x)dx）
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