《余弦定理》教學(xué)設(shè)計

　　作為一名教職工，總歸要編寫教學(xué)設(shè)計，教學(xué)設(shè)計是教育技術(shù)的組成部分，它的功能在于運用系統(tǒng)方法設(shè)計教學(xué)過程，使之成為一種具有操作性的程序。你知道什么樣的教學(xué)設(shè)計才能切實有效地幫助到我們嗎？以下是小編為大家收集的《余弦定理》教學(xué)設(shè)計，僅供參考，希望能夠幫助到大家。

《余弦定理》教學(xué)設(shè)計1

　　一. 教學(xué)目標：

　　1知識與技能：認識正弦、余弦定理，了解三角形中的邊與角的關(guān)系

　　2過程與方法：通過具體的探究活動，了解正弦、余弦定理的內(nèi)容，并從具體的實例掌握正弦、余弦定理的應(yīng)用

　　情感態(tài)度與價值觀：通過對實例的探究，體會到三角形的和諧美，學(xué)會穩(wěn)定性的重要

　　二. 教學(xué)重、難點：

　　1. 重點：

　　正弦、余弦定理應(yīng)用以及公式的變形 2. 難點：

　　運用正、余弦定理解決有關(guān)斜三角形問題。

　　知 識 梳 理

　　1．正弦定理和余弦定理

　　在△ABC中，若角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，則

　　(1)S＝2ah(h表示邊a上的高)． 111

　　(2)S＝2bcsin A＝2sin C＝2acsin B. 1

　　(3)S＝2r(a＋b＋c)(r為△ABC內(nèi)切圓半徑)

　　問題1：在△ABC中，a＝3，b2，A＝60°求c及B C 問題2在△ABC中,c=6 A=30° B=120°求a b及C

　　問題3在△ABC中，a＝5，c＝4，cos A＝16，則b＝

　　通過對上述三個較簡單問題的解答指導(dǎo)學(xué)生總結(jié)正余弦定理的應(yīng)用; 正弦定理可以解決

　　(1)已知兩角和任一邊，求其他兩邊和一角；

　　(2)已知兩邊和其中一邊的對角，求另一邊和其他兩角

　　余弦定理可以解決

　　(1)已知三邊，求三個角；

　　(2)已知兩邊和它們的夾角，求第三邊和其他兩角

　　我們不難發(fā)現(xiàn)利用正余弦定理可以解決三角形中“知三求三” 知三中必須要有一邊 應(yīng)用舉例 【例1】 (1)(20xx·湖南卷)在銳角△ABC中，角A，B所對的邊長分別為a，b.若2asin B3b，則角A等于 ( )．ππππA.3B.4 C.6 12

　　(2)(20xx·杭州模擬)在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若a＝1，c＝2，B＝45°，則sin C＝______.

　　解析 (1)在△ABC中，由正弦定理及已知得2sin A·sin B＝3sin B， ∵B為△ABC的內(nèi)角，∴sin B≠0. 3

　　∴sin A＝2又∵△ABC為銳角三角形， π?π?

　　∴A∈?02?，∴A＝3??

　　(2)由余弦定理，得b2＝a2＋c2－2accos B＝1＋32－2×2＝25，即b＝5. c·sin B

　　所以sin Cb4

　　答案 (1)A (2)5【訓(xùn)練1】 (1)在△ABC中，a＝3，c＝2，A＝60°，則C＝

　　A．30°B．45° C．45°或135°

　　D．60°

　　(2)在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別是a，b，c，若a2－b2＝3bc，sin C＝3sin B，則A＝ A．30°

　　B．60° C．120°

　　D．150°

　　232解析 (1)由正弦定理，得sin 60°sin C，解得：sin C＝2，又c＜a，所以C＜60°，所以C＝45°. (2)∵sin C＝23sin B，由正弦定理，得c＝23b， b2＋c2－a2－3bc＋c2－3bc＋3bc3∴cos A＝2bc＝＝2bc2bc2， 又A為三角形的內(nèi)角，∴A＝30°. 答案 (1)B (2)A

　　規(guī)律方法 已知兩角和一邊，該三角形是確定的，其解是唯一的；已知兩邊和一邊的對角，該三角形具有不唯一性，通常根據(jù)三角函數(shù)值的有界性和大邊對大角定理進行判斷．

　　【例2】 (20xx·臨沂一模)在△ABC中，a，b，c分別為內(nèi)角A，B，C的對邊，且2asin A＝(2b－c)sin B＋(2c－b)sin C. (1)求角A的`大��；

　　(2)若sin B＋sin C＝3，試判斷△ABC的形狀． 解 (1)由2asin A＝(2b－c)sin B＋(2c－b)sin C， 得2a2＝(2b－c)b＋(2c－b)c，即bc＝b2＋c2－a2， b2＋c2－a21

　　∴cos A＝2bc＝2，∴A＝60°.

　　(2)∵A＋B＋C＝180°，∴B＋C＝180°－60°＝120°. 由sin B＋sin C＝3，得sin B＋sin(120°－B)＝3， ∴sin B＋sin 120°cos B－cos 120°sin B＝3. 33

　　∴2sin B＋2B＝3，即sin(B＋30°)＝1. ∵0°

　　∴B＋30°＝90°，B＝60°.

　　∴A＝B＝C＝60°，△ABC為等邊三角形．

　　規(guī)律方法 解決判斷三角形的形狀問題，一般將條件化為只含角的三角函數(shù)的關(guān)系式，然后利用三角恒等變換得出內(nèi)角之間的關(guān)系式；或?qū)�條件化為只含有邊的關(guān)系式，然后利用常見的化簡變形得出三邊的關(guān)系．另外，在變形過程中要注意A，B，C的范圍對三角函數(shù)值的影響．

　　課堂小結(jié)

　　1．在解三角形的問題中，三角形內(nèi)角和定理起著重要作用，在解題時要注意根據(jù)這個定理確定角的范圍及三角函數(shù)值的符號，防止出現(xiàn)增解或漏解．

　　2．正、余弦定理在應(yīng)用時，應(yīng)注意靈活性，尤其是其變形應(yīng)用時可相互轉(zhuǎn)化．如a2＝b2＋c2－2bccos A可以轉(zhuǎn)化為sin2 A＝sin2 B＋sin2 C－2sin Bsin Ccos A，利用這些變形可進行等式的化簡與證明

《余弦定理》教學(xué)設(shè)計2

　　一、 教學(xué)內(nèi)容解析

　　人教版《普通高中課程標準實驗教科書·必修（五）》（第2版）第一章《解三角形》第一單元第二課《余弦定理》。余弦定理是繼正弦定理教學(xué)之后又一關(guān)于三角形的邊角關(guān)系準確量化的一個重要定理。通過利用向量的數(shù)量積方法推導(dǎo)余弦定理，正確理解其結(jié)構(gòu)特征和表現(xiàn)形式，解決“邊、角、邊”和“邊、邊、邊”問題，初步體會余弦定理解決“邊、邊、角”，體會方程思想，激發(fā)學(xué)生探究數(shù)學(xué)，應(yīng)用數(shù)學(xué)的潛能,從而進一步運用它們解決一些與測量和幾何計算有關(guān)的實際問題，使學(xué)生能更深地體會數(shù)學(xué)來源于生活，數(shù)學(xué)服務(wù)于生活。

　　二、學(xué)生學(xué)習(xí)情況分析

　　本課之前，學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了三角函數(shù)、向量基本知識和正弦定理有關(guān)內(nèi)容，對于三角形中的邊角關(guān)系有了較進一步的認識。在此基礎(chǔ)上利用向量方法探求余弦定理，學(xué)生已有一定的學(xué)習(xí)基礎(chǔ)和學(xué)習(xí)興趣。總體上學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)知識的意識不強，創(chuàng)造力較弱，看待與分析問題不深入，知識的系統(tǒng)性不完善，使得學(xué)生在余弦定理推導(dǎo)方法的探求上有一定的難度，在發(fā)掘出余弦定理的結(jié)構(gòu)特征、表現(xiàn)形式的數(shù)學(xué)美時，能夠激發(fā)學(xué)生熱愛數(shù)學(xué)的思想感情；從具體問題中抽象出數(shù)學(xué)的本質(zhì)，應(yīng)用方程的思想去審視，解決問題是學(xué)生學(xué)習(xí)的一大難點。

　　三、設(shè)計思想

　　新課程的數(shù)學(xué)提倡學(xué)生動手實踐，自主探索，合作交流，深刻地理解基本結(jié)論的本質(zhì)，體驗數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造的歷程，力求對現(xiàn)實世界蘊涵的一些數(shù)學(xué)模式進行思考，作出判斷；同時要求教師從知識的傳授者向課堂的設(shè)計者、組織者、引導(dǎo)者、合作者轉(zhuǎn)化，從課堂的執(zhí)行者向?qū)嵤┱�、探究開發(fā)者轉(zhuǎn)化。本課盡力追求新課程要求，利用師生的互動合作，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識和創(chuàng)新意識，深刻地體會數(shù)學(xué)思想方法及數(shù)學(xué)的應(yīng)用，激發(fā)學(xué)生探究數(shù)學(xué)、應(yīng)用數(shù)學(xué)知識的潛能。

　　四、 教學(xué)目標解析

　　1、使學(xué)生掌握余弦定理及推論，并會初步運用余弦定理及推論解三角形。

　　2、通過對三角形邊角關(guān)系的探究，能證明余弦定理，了解從三角方法、解析方法、向量方法和正弦定理等途徑證明余弦定理。

　　3、在發(fā)現(xiàn)和證明余弦定理中，通過聯(lián)想、類比、轉(zhuǎn)化等思想方法比較證明余弦定理的不同方法，從而培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維。

　　4、能用余弦定理解決生活中的實際問題，可以培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，使學(xué)生進一步認識到數(shù)學(xué)是有用的。

　　五、 教學(xué)問題診斷分析

　　1、通過前一節(jié)正弦定理的學(xué)習(xí)，學(xué)生已能解決這樣兩類解三角形的問題：

　�、僖阎�三角形的任意兩個角與邊，求其他兩邊和另一角；

　�、谝阎�三角形的任意兩個角與其中一邊的對角，計算另一邊的對角，進而計算出其他的邊和角。

　　而在已知三角形兩邊和它們的夾角，計算出另一邊和另兩個角的問題上，學(xué)生產(chǎn)生了認知沖突，這就迫切需要他們掌握三角形邊角關(guān)系的另一種定量關(guān)系。所以，教學(xué)的重點應(yīng)放在余弦定理的發(fā)現(xiàn)和證明上。

　　2、在以往的教學(xué)中存在學(xué)生認知比較單一，對余弦定理的證明方法思考也比較單一，而本節(jié)的教學(xué)難點就在于余弦定理的證明。如何啟發(fā)、引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)過聯(lián)想、類比、轉(zhuǎn)化多角度地對余弦定理進行證明，從而突破這一難點。

　　3、學(xué)習(xí)了正弦定理和余弦定理，學(xué)生在解三角形中，如何適當(dāng)?shù)剡x擇定理以達到更有效地解題，也是本節(jié)內(nèi)容應(yīng)該關(guān)注的問題，特別是求某一個角有時既可以用余弦定理，也可以用正弦定理時，教學(xué)中應(yīng)注意讓學(xué)生能理解兩種方法的利弊之處，從而更有效地解題。

　　六、 教學(xué)支持條件分析

　　為了將學(xué)生從繁瑣的計算中解脫出來，將精力放在對定理的證明和運用上，所以本節(jié)中復(fù)雜的計算借助計算器來完成。當(dāng)使用計算器時，約定當(dāng)計算器所得的三角函數(shù)值是準確數(shù)時用等號，當(dāng)取其近似值時，相應(yīng)的運算采用約等號。但一般的代數(shù)運算結(jié)果按通常的運算規(guī)則，是近似值時用約等號。

　　七、 教學(xué)過程設(shè)計

　　1、教學(xué)基本流程：

　�、購囊坏郎�活中的實際問題的解決引入問題，如何用已知的兩條邊及其所夾的角來表示第三條邊。

　�、谟嘞叶ɡ淼淖C明：啟發(fā)學(xué)生從不同的角度得到余弦定理的證明，或引導(dǎo)學(xué)生自己探索獲得定理的`證明。

　�、蹜�(yīng)用余弦定理解斜三角形。

　　2、教學(xué)情景：

　�、賱�(chuàng)設(shè)情境，提出問題

　　問題1：現(xiàn)有卷尺和測角儀兩種工具，請你設(shè)計合理的方案，來測量學(xué)校前生物島邊界上兩點的最大距離（如圖1所示，圖中AB的長度）。

　　【設(shè)計意圖】：來源于生活中的問題能激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，提高學(xué)習(xí)積極性。讓學(xué)生進一步體會到數(shù)學(xué)來源于生活，數(shù)學(xué)服務(wù)于生活。

　　師生活動：教師可以采取小組合作的形式，讓學(xué)生設(shè)計方案嘗試解決。

　　學(xué)生1—方案1：如果卷尺足夠長的話，可以在島對岸小路上取一點C（如圖2），用卷尺量出AC和BC的長，用測角儀測出∠ACB的大小， 那么△ABC的大小就可以確定了。感覺似乎在△ABC中已知AC、BC的長及夾角C的大小，可以求AB的長了。

　　其他學(xué)生有異議，若卷尺沒有足夠長呢？

　　學(xué)生2—方案2：在島對岸可以取C、D 兩點（如圖3），用卷尺量出CD的長，再用測角儀測出圖中∠1、∠2、∠3、∠4的大小。在△ACD中，已知∠ACD、∠ADC及CD，可以用正弦定理求AC，同理在△BCD中，用正弦定理求出BC。那么在△ABC中，已知AC、BC及∠ACB，似乎可以求AB的長了。

　　教師：兩種方案歸根到底都是已知三角形兩邊及夾角，求第三邊的問題。能否也象正弦定理那樣，尋找它們之間的某種定量關(guān)系？

　　【設(shè)計意圖】給學(xué)生足夠的空間和展示的平臺，充分發(fā)揮學(xué)生的主體地位。

　�、谇螽愄叫�，證明定理

　　問題2：你能判斷下列三角形的類型嗎？

　　1、以3，4，5為各邊長的三角形是_____三角形

　　以2，3，4為各邊長的三角形是_____三角形

　　以4，5，6為各邊長的三角形是_____三角形 2、在△ABC中a=8，b=5，∠c=60°，你能求c邊長嗎？

　　【設(shè)計意圖】：幫助學(xué)生分析相關(guān)內(nèi)容，從多角度看待問題，用實踐進行檢驗。師生活動：引導(dǎo)學(xué)生從特殊入手，用已有的初中所學(xué)的平面幾何的有關(guān)知識來研究這一問題，從而尋找出這些量之間存在的某種定量關(guān)系。

　　問題3：你能夠有更好的具體的量化方法嗎？

　　幫助學(xué)生從平面幾何、三角函數(shù)、向量知識、坐標法等方面進行分析討論，選擇簡潔的處理工具，引發(fā)學(xué)生的積極討論。

　　【設(shè)計意圖】：引導(dǎo)學(xué)生從相關(guān)知識入手，選擇簡潔的工具。

　　學(xué)生3：在△ABC中，如圖4，過C作CD⊥AB，垂足為D。

　　在Rt△ACD中，AD=bsin∠1,CD= bcos∠1;

　　在Rt△BCD中，BD=asin∠2, CD=acos∠2;

　　學(xué)生4：如圖5，過A作AD⊥BC，垂足為D。

　　學(xué)生5：如圖5，AD = bsinC，CD = bcosC，2 22 2 2∴c=（bsinC）+（a- bcosC）= a+b-2abcosC

　　2 2 22 2 2類似地可以證明b= a+c-2accosB，c= a+b-2abcosC。

　　教師總結(jié)：以上的證明都是把斜三角形轉(zhuǎn)化為兩個直角三角形，化一般為特殊，再利用勾股定理來證明。并且進一步指出以上的證明還不嚴密，還要分∠C為鈍角或直角時，同樣都可以得出以上結(jié)論，這也正是本節(jié)課的重點—余弦定理。

　　【設(shè)計意圖】：首先肯定學(xué)生成果，進一步的追問以上思路是否完整，可以使學(xué)生的思維更加嚴密。

　　師生活動：得出了余弦定理，教師還應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生聯(lián)想、類比、轉(zhuǎn)化，思考是否還有其他方法證明余弦定理。

　　教師：在前面學(xué)習(xí)正弦定理的證明過程種，我們用向量法比較簡便地證明了正弦定理，那么在余弦定理的證明中，你會有什么想法？

　　【設(shè)計意圖】：通過類比、聯(lián)想，讓學(xué)生的思維水平得到進一步鍛煉和提高，體驗到成功的樂趣。

　　學(xué)生6：如圖6，教師：以上的證明避免了討論∠C是銳角、鈍角或直角，思路簡潔明了，過程簡單，體現(xiàn)了向量工具的作用。又向量可以用坐標表示，AB長度又可以聯(lián)系到平面內(nèi)兩點間的距離公式，你會有什么啟發(fā)？

　　【設(shè)計意圖】：由向量又聯(lián)想到坐標，引導(dǎo)學(xué)生從直角坐標中用解析法證明定理。

　　學(xué)生7：如圖7，建立直角坐標系，在△ABC中，AC = b，BC = a .

　　且A（b，0），B（acosC，asinC），C（0，0），　　【設(shè)計意圖】：通過以上平面幾何知識、向量法、解析法引導(dǎo)學(xué)生體會證明余弦定理，更好地讓學(xué)生主動投入到整個數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程中，培養(yǎng)學(xué)生發(fā)散思維能力，拓展學(xué)生思維空間的深度和廣度。

　　【歸納概括】：余弦定理：

　　三角形中任何一邊的平方等于其他兩邊的平方和減去這兩邊與它們夾角的余弦的積的兩倍。

　　【設(shè)計意圖】：知識歸納比較，發(fā)現(xiàn)特征，加強識記

　　【結(jié)構(gòu)分析】：觀察余弦定理，指明了三邊長與其中一角的具體關(guān)系，并發(fā)現(xiàn)a與A，b與B，C與c之間的對應(yīng)表述，同時發(fā)現(xiàn)三邊長的平方在余弦定理中同時出現(xiàn)。 【知識聯(lián)系】：余弦定理的推論：

　　【設(shè)計意圖】：在學(xué)生探究數(shù)學(xué)美，欣賞美的過程中，體會數(shù)學(xué)造化之神奇，學(xué)生可以興趣盎然地掌握公式特征、結(jié)構(gòu)及其他變式。

　　③運用定理，解決問題

　　讓學(xué)生觀察余弦定理及推論的構(gòu)成形式，思考用余弦定理及推論可以解決那些類型的三角形問題。

　　例1：①在△ABC中，已知a = 2，b = 3，∠C = 60°，求邊c。

　　②在△ABC中，已知a = 7，b = 3，c = 5，求A、B、C。

　　【設(shè)計意圖】：讓學(xué)生理解余弦定理及推論解決兩類最基本問題，既①已知三角形兩邊及夾角，求第三邊；②已知三角形三邊，求三內(nèi)角。

　　例2：已知△ABC中求c邊長

　　分析：（1）用正弦定理分析引導(dǎo)

　　（2）應(yīng)用余弦定理構(gòu)造關(guān)于C的方程求解。

　�。�3）比較兩種方法的利弊。能用正弦定理解決的問題均可以用余弦定理解決，更具有優(yōu)越性。

　　④練習(xí)檢測：

　　1、某人站在山頂向下看一列車隊向山腳駛來，他看見第一輛車與第二輛車的俯角差等于他看見第二輛與第三輛車的俯角差，則第一輛車與第二輛車的距離與第二輛車的距離之間關(guān)系為（ ）

　　A：> B：=

　　C：< D：大小不確定

　　2、銳角△ABC中b=1，c=2，則a取值為（ ）

　　A：（1,3） B：（1,）

　　C：（，2） D：（，）

　　3、在△ABC中若有，你能判斷這個三角形的形狀嗎？

　　若呢？

　　3、小結(jié)

　　本節(jié)課的主要內(nèi)容是余弦定理的證明，從平面幾何、向量、坐標等各個不同的方面進行探究，得出的余弦定理無論在什么形狀的三角形中都成立，勾股定理也只不過是它的特例。所以它很“完美”，從式子上又可以看出其具“簡捷、和諧、對稱”的美，其變式即推論也很協(xié)調(diào)。

　　4、作業(yè)

　　第1題：用正弦定理證明余弦定理。

　　【設(shè)計意圖】：繼續(xù)要求學(xué)生擴寬思路，用正弦定理把余弦定理中的邊都轉(zhuǎn)化成角，然后利用三角公式進行推導(dǎo)證明。而這種把邊轉(zhuǎn)化為角、或把角轉(zhuǎn)化為邊的思想正是我們解決三角形問題中的一種非常重要的思想方法。

　　第2題：在△ABC中，已知，求角A和C和邊c。

　　【設(shè)計意圖】：本題可以通過正弦定理和余弦定理來求解，讓學(xué)生體會兩種定理在解三角形問題上的利弊。運用正弦定理求角可能會漏解，運用余弦定理求角不會漏解，但是計算可能較繁瑣。

　　5、板書設(shè)計：

　　1、推導(dǎo)余弦定理及其推論

　　2、例1、例2

　　3、練習(xí)指導(dǎo)

　　4、小結(jié)投影正弦、余弦定理，比較它們理解知識

　　八：教學(xué)反思

　　1、余弦定理是解三角形的重要依據(jù)，要給予足夠重視。本節(jié)內(nèi)容安排兩節(jié)課適宜。第一節(jié)，余弦定理的引出、證明和簡單應(yīng)用；第二節(jié)復(fù)習(xí)定理內(nèi)容，加強定理的應(yīng)用。

　　2、當(dāng)已知兩邊及一邊對角需要求第三邊時，可利用方程的思想，引出含第三邊為未知量的方程，間接利用余弦定理解決問題，此時應(yīng)注意解的不唯一性。但是這個問題在本節(jié)課講給學(xué)生，學(xué)生不易理解，可以放在第二課時處理。

　　3、本節(jié)課的重點首先是定理的證明，其次才是定理的應(yīng)用。我們傳統(tǒng)的定理概念教學(xué)往往采取的是“掐頭去尾燒中斷”的方法，忽視了定理、概念的形成過程，只是一味的教給學(xué)生定理概念的結(jié)論或公式，讓學(xué)生通過大量的題目去套用這些結(jié)論或形式，大搞題海戰(zhàn)術(shù)，加重了學(xué)生的負擔(dān)，效果很差。學(xué)生根本沒有掌握住這些定理、概念的形成過程，不能明白知識的來龍去脈，怎么會靈活的應(yīng)用呢？事實上已經(jīng)證明，這種生搬硬套、死記硬背式的教學(xué)方法和學(xué)習(xí)方法已經(jīng)不能適應(yīng)新課標教育的教學(xué)理念。新課標課程倡導(dǎo)：強調(diào)過程，重視學(xué)生探索新知識的經(jīng)歷和獲得的新知的體會，不能再讓教學(xué)脫離學(xué)生的內(nèi)心感受，把“發(fā)現(xiàn)、探究知識”的權(quán)利還給學(xué)生。

　　4、本節(jié)課的教學(xué)過程重視學(xué)生探究知識的過程，突出了以教師為主導(dǎo)，學(xué)生為主體的教學(xué)理念。教師通過提供一些可供學(xué)生研究的素材，引導(dǎo)學(xué)生自己去研究問題，探究問題的結(jié)論。在這個過程中，教師應(yīng)該做到“收放有度”，即：不能收的太緊，剝奪了學(xué)生獨立思考、合作學(xué)習(xí)的意識，更不能采取“放羊式”的教學(xué)，對于學(xué)生在探究問題中出現(xiàn)的困惑置之不理。

　　5、合理的應(yīng)用多媒體教學(xué)，起到畫龍點睛、提高效率、增強學(xué)生對問題感官認識的效果，不能讓教師成為多媒體的奴隸。濫用多媒體教學(xué)的后果是將學(xué)生上課時的“眼到、手到、口到”變?yōu)闄C械的“眼到”，學(xué)生看了一節(jié)課的“電影”，沒有充足的時間去思考、練習(xí)、鞏固，課后會很快將所學(xué)的知識忘得一干二凈。

《余弦定理》教學(xué)設(shè)計3

　　教材分析這是高三一輪復(fù)習(xí)，內(nèi)容是必修5第一章解三角形。本章內(nèi)容準備復(fù)習(xí)兩課時。本節(jié)課是第一課時。標要求本章的中心內(nèi)容是如何解三角形，正弦定理和余弦定理是解三角形的工具，最后應(yīng)落實在解三角形的應(yīng)用上。通過本節(jié)學(xué)習(xí)，學(xué)生應(yīng)當(dāng)達到以下學(xué)習(xí)目標：

　　（1）通過對任意三角形邊長和角度關(guān)系的探索，掌握正弦定理、余弦定理解三角形。

　�。�2）能夠運用正弦定理、余弦定理等知識和方法判斷三角形形狀的問題。本章內(nèi)容與三角函數(shù)、向量聯(lián)系密切。

　　作為復(fù)習(xí)課一方面將本章知識作一個梳理，另一方面通過整理歸納幫助學(xué)生進一步達到相應(yīng)的學(xué)習(xí)目標。

　　學(xué)情分析學(xué)生通過必修5的學(xué)習(xí)，對正弦定理、余弦定理的內(nèi)容已經(jīng)了解，但對于如何靈活運用定理解決實際問題，怎樣合理選擇定理進行邊角關(guān)系轉(zhuǎn)化從而解決三角形綜合問題，學(xué)生還需通過復(fù)習(xí)提點有待進一步理解和掌握。

　　教學(xué)目標知識目標：

　�。�1）學(xué)生通過對任意三角形邊長和角度關(guān)系的探索，掌握正弦、余弦定理的內(nèi)容及其證明方法；會運用正、余弦定理與三角形內(nèi)角和定理，面積公式解斜三角形的兩類基本問題。

　　（2）學(xué)生學(xué)會分析問題，合理選用定理解決三角形綜合問題。

　　能力目標：

　　培養(yǎng)學(xué)生提出問題、正確分析問題、獨立解決問題的能力，培養(yǎng)學(xué)生在方程思想指導(dǎo)下處理解三角形問題的運算能力，培養(yǎng)學(xué)生合情推理探索數(shù)學(xué)規(guī)律的數(shù)學(xué)思維能力。

　　情感目標：

　　通過生活實例探究回顧三角函數(shù)、正余弦定理，體現(xiàn)數(shù)學(xué)來源于生活，并應(yīng)用于生活，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，并體會數(shù)學(xué)的應(yīng)用價值，在教學(xué)過程中激發(fā)學(xué)生的探索精神。

　　教學(xué)方法探究式教學(xué)、講練結(jié)合

　　重點難點

　　1、正、余弦定理的對于解解三角形的合理選擇；

　　2、正、余弦定理與三角形的有關(guān)性質(zhì)的綜合運用。

　　教學(xué)策略

　　1、重視多種教學(xué)方法有效整合；

　　2、重視提出問題、解決問題策略的指導(dǎo)。

　　3、重視加強前后知識的密切聯(lián)系。

　　4、重視加強數(shù)學(xué)實踐能力的培養(yǎng)。

　　5、注意避免過于繁瑣的形式化訓(xùn)練

　　6、教學(xué)過程體現(xiàn)“實踐→認識→實踐”。

　　設(shè)計意圖：

　　學(xué)生通過必修5的學(xué)習(xí)，對正弦定理、余弦定理的內(nèi)容已經(jīng)了解，但對于如何靈活運用定理解決實際問題，怎樣合理選擇定理進行邊角關(guān)系轉(zhuǎn)化從而解決三角形綜合問題，學(xué)生還需通過復(fù)習(xí)提點有待進一步理解和掌握。作為復(fù)習(xí)課一方面要將本章知識作一個梳理，另一方面要通過整理歸納幫助學(xué)生學(xué)會分析問題，合理選用并熟練運用正弦定理、余弦定理等知識和方法解決三角形綜合問題和實際應(yīng)用問題。

　　數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)是中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的重要組成部分，有利于學(xué)生加深數(shù)學(xué)知識的理解和掌握。雖然是復(fù)習(xí)課，但我們不能一味的講題，在教學(xué)中應(yīng)體現(xiàn)以下教學(xué)思想：

　　⑴重視教學(xué)各環(huán)節(jié)的合理安排：

　　在生活實踐中提出問題，再引導(dǎo)學(xué)生帶著問題對新知進行探究，然后引導(dǎo)學(xué)生回顧舊知識與方法，引出課題。激發(fā)學(xué)生繼續(xù)學(xué)習(xí)新知的欲望，使學(xué)生的知識結(jié)構(gòu)呈一個螺旋上升的狀態(tài)，符合學(xué)生的認知規(guī)律。

　�、浦匾暥喾N教學(xué)方法有效整合，以講練結(jié)合法、分析引導(dǎo)法、變式訓(xùn)練法等多種方法貫穿整個教學(xué)過程。

　�、侵匾曁岢鰡栴}、解決問題策略的指導(dǎo)。共3頁，當(dāng)前第1頁123

　　⑷重視加強前后知識的密切聯(lián)系。對于新知識的探究，必須增加足夠的預(yù)備知識，做好銜接。要對學(xué)生已有的知識進行分析、整理和篩選，把對學(xué)生后繼學(xué)習(xí)中有需要的知識選擇出來，在新知識介紹之前進行復(fù)習(xí)。

　�、勺⒁獗苊膺^于繁瑣的形式化訓(xùn)練。從數(shù)學(xué)教學(xué)的傳統(tǒng)上看解三角形內(nèi)容有不少高度技巧化、形式化的問題，我們在教學(xué)過程中應(yīng)該注意盡量避免這一類問題的出現(xiàn)。

　　二、實施教學(xué)過程

　　（一）創(chuàng)設(shè)情境、揭示提出課題

　　引例：要測量南北兩岸a、b兩個建筑物之間的距離，在南岸選取相距a點km的c點，并通過經(jīng)緯儀測的，你能計算出a、b之間的距離嗎？若人在南岸要測量對岸b、d兩個建筑物之間的距離，該如何進行？

　�。ǘ�）復(fù)習(xí)回顧、知識梳理

　　1．正弦定理：

　　正弦定理的變形：

　　利用正弦定理，可以解決以下兩類有關(guān)三角形的問題。

　�。�1）已知兩角和任一邊，求其他兩邊和一角；

　�。�2）已知兩邊和其中一邊的對角，求另一邊的對角。（從而進一步求出其他的邊和角）

　　2．余弦定理：

　　a2=b2+c2－2bccosa；

　　b2=c2+a2－2cacosb；

　　c2=a2+b2－2abcosc。

　　cosa=；

　　cosb=；

　　cosc=。

　　利用余弦定理，可以解決以下兩類有關(guān)三角形的問題：

　　（1）已知三邊，求三個角；

　�。�2）已知兩邊和它們的夾角，求第三邊和其他兩個角。

　　3．三角形面積公式：

　�。ㄈ�）自主檢測、知識鞏固

　　（四）典例導(dǎo)航、知識拓展

　　【例1】 △abc的三個內(nèi)角a、b、c的對邊分別是a、b、c，如果a2=b（b+c），求證：a=2b。

　　剖析：研究三角形問題一般有兩種思路。一是邊化角，二是角化邊。

　　證明：用正弦定理，a=2rsina，b=2rsinb，c=2rsinc，代入a2=b（b+c）中，得sin2a=sinb（sinb+sinc）sin2a－sin2b=sinbsinc

　　因為a、b、c為三角形的三內(nèi)角，所以sin（a+b）≠0。所以sin（a－b）=sinb。所以只能有a－b=b，即a=2b。

　　評述：利用正弦定理，將命題中邊的關(guān)系轉(zhuǎn)化為角間關(guān)系，從而全部利用三角公式變換求解。

　　思考討論：該題若用余弦定理如何解決？

　　【例2】已知a、b、c分別是△abc的三個內(nèi)角a、b、c所對的'邊，

　�。�1）若△abc的面積為，c=2，a=600，求邊a，b的值；

　�。�2）若a=ccosb，且b=csina，試判斷△abc的形狀。

　�。ㄎ澹┳兪接�(xùn)練、歸納整理

　　【例3】已知a、b、c分別是△abc的三個內(nèi)角a、b、c所對的邊，若bcosc=（2a—c）cosb

　　（1）求角b

　�。�2）設(shè)，求a+c的值。

　　剖析：同樣知道三角形中邊角關(guān)系，利用正余弦定理邊化角或角化邊，從而解決問題，此題所變化的是與向量相結(jié)合，利用向量的模與數(shù)量積反映三角形的邊角關(guān)系，把本質(zhì)看清了，問題與例2類似解決。

　　此題分析后由學(xué)生自己作答，利用實物投影集體評價，再做歸納整理。

　�。ń獯鹇裕�

　　課時小結(jié)（由學(xué)生歸納總結(jié)，教師補充）

　　1、解三角形時，找三邊一角之間的關(guān)系常用余弦定理，找兩邊兩角之間的關(guān)系常用正弦定理

　　2、根據(jù)所給條件確定三角形的形狀，主要有兩種途徑：①化邊為角；②化角為邊。并常用正余弦定理實施邊角轉(zhuǎn)化。

　　3、用正余弦定理解三角形問題可適當(dāng)應(yīng)用向量的數(shù)量積求三角形內(nèi)角與應(yīng)用向量的模求三角形的邊長。

　　4、應(yīng)用問題可利用圖形將題意理解清楚，然后用數(shù)學(xué)模型解決問題。

　　5、正余弦定理與三角函數(shù)、向量、不等式等知識相結(jié)合，綜合運用解決實際問題。

　　課后作業(yè)：

　　材料三級跳

　　創(chuàng)設(shè)情境，提出實際應(yīng)用問題，揭示課題

　　學(xué)生在探究問題時發(fā)現(xiàn)是解三角形問題，通過問答將知識作一梳理。

　　學(xué)生通過課前預(yù)熱1、2、3、的快速作答，對正余弦定理的基本運用有了一定的回顧

　　學(xué)生探討

　　知識的關(guān)聯(lián)與拓展

　　正余弦定理與三角形內(nèi)角和定理，面積公式的綜合運用對學(xué)生來說也是難點，尤其是根據(jù)條件判斷三角形形狀。此處列舉例2讓學(xué)生進一步體會如何選擇定理進行邊角互化。

　　本課是在學(xué)生學(xué)習(xí)了三角函數(shù)、平面幾何、平面向量、正弦和余弦定理的基礎(chǔ)上而設(shè)置的復(fù)習(xí)內(nèi)容，因此本課的教學(xué)有較多的處理辦法。從解三角形的問題出發(fā)，對學(xué)過的知識進行分類，采用的例題是精心準備的，講解也是至關(guān)重要的。一開始的復(fù)習(xí)回顧學(xué)生能夠很好的回答正弦定理和余弦定理的基本內(nèi)容，但對于兩個定理的變形公式不知，也就是說對于公式的應(yīng)用不熟練。設(shè)計中的自主檢測幫助學(xué)生回顧記憶公式，對學(xué)生更有針對性的進行了訓(xùn)練。學(xué)生還是出現(xiàn)了問題，在遇到第一個正弦方程時，是只有一組解還是有兩組解，這是難點。例1、例2是常規(guī)題，讓學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)知識求解問題，可用正弦定理，也可用余弦定理，幫助學(xué)生鞏固正弦定理、余弦定理知識。

　　本節(jié)課授課對象為高三6班的學(xué)生，上課氛圍非�；钴S�？紤]到這是一節(jié)復(fù)習(xí)課，學(xué)生已經(jīng)知道了定理的內(nèi)容，沒有經(jīng)歷知識的發(fā)生與推導(dǎo)，所以興趣不夠，較沉悶。奧蘇貝爾指出，影響學(xué)習(xí)的最重要因素是學(xué)生已經(jīng)知道了什么，我們應(yīng)當(dāng)根據(jù)學(xué)生原有的知識狀況去進行教學(xué)。因而，在教學(xué)中，教師了解學(xué)生的真實的思維活動是一切教學(xué)工作的實際出發(fā)點。教師應(yīng)當(dāng)"接受"和"理解"學(xué)生的真實思想，盡管它可能是錯誤的或幼稚的，但卻具有一定的"內(nèi)在的"合理性，教師不應(yīng)簡單否定，而應(yīng)努力去理解這些思想的產(chǎn)生與性質(zhì)等等，只有真正理解了學(xué)生思維的發(fā)生發(fā)展過程，才能有的放矢地采取適當(dāng)?shù)慕虒W(xué)措施以便幫助學(xué)生不斷改進并最終實現(xiàn)自己的目標。由于這種探究課型在平時的教學(xué)中還不夠深入，有些學(xué)生往往以一種觀賞者的身份參與其中，主動探究意識不強，思維水平?jīng)]有達到足夠的提升。這些都是不足之處，比較遺憾。但相信隨著課改實驗的深入，這種狀況會逐步改善。畢竟輕松愉快的課堂是學(xué)生思維發(fā)展的天地，是合作交流、探索創(chuàng)新的主陣地，是思想教育的好場所。所以新課標下的課堂將會是學(xué)生和教師共同成長的舞臺！

《余弦定理》教學(xué)設(shè)計4

　　一、教學(xué)設(shè)計

　　1、教學(xué)背景

　　在近幾年教學(xué)實踐中我們發(fā)現(xiàn)這樣的怪現(xiàn)象：絕大多數(shù)學(xué)生認為數(shù)學(xué)很重要，但很難；學(xué)得很苦、太抽象、太枯燥，要不是升學(xué)，我們才不會去理會，況且將來用數(shù)學(xué)的機會很少；許多學(xué)生完全依賴于教師的講解，不會自學(xué)，不敢提問題，也不知如何提問題，這說明了學(xué)生一是不會學(xué)數(shù)學(xué)，二是對數(shù)學(xué)有恐懼感，沒有信心，這樣的心態(tài)怎能對數(shù)學(xué)有所創(chuàng)新呢即使有所創(chuàng)新那與學(xué)生們所花代價也不成比例，其間扼殺了他們太多的快樂和個性特長。建構(gòu)主義提倡情境式教學(xué)，認為多數(shù)學(xué)習(xí)應(yīng)與具體情境有關(guān)，只有在解決與現(xiàn)實世界相關(guān)聯(lián)的問題中，所建構(gòu)的知識才將更豐富、更有效和易于遷移。我們在20xx級進行了“創(chuàng)設(shè)數(shù)學(xué)情境與提出數(shù)學(xué)問題”的以學(xué)生為主的“生本課堂”教學(xué)實驗，通過一段時間的教學(xué)實驗，多數(shù)同學(xué)已能適應(yīng)這種學(xué)習(xí)方式，平時能主動思考，敢于提出自己關(guān)心的問題和想法，從過去被動的接受知識逐步過渡到主動探究、索取知識，增強了學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。

　　2、教材分析

　　“余弦定理”是高中數(shù)學(xué)的主要內(nèi)容之一，是解決有關(guān)斜三角形問題的兩個重要定理之一，也是初中“勾股定理”內(nèi)容的直接延拓，它是三角函數(shù)一般知識和平面向量知識在三角形中的具體運用，是解可轉(zhuǎn)化為三角形計算問題的其它數(shù)學(xué)問題及生產(chǎn)、生活實際問題的重要工具，因此具有廣泛的應(yīng)用價值。本節(jié)課是“正弦定理、余弦定理”教學(xué)的第二節(jié)課，其主要任務(wù)是引入并證明余弦定理。布魯納指出，學(xué)生不是被動的、消極的知識的接受者，而是主動的、積極的知識的探究者。教師的作用是創(chuàng)設(shè)學(xué)生能夠獨立探究的情境，引導(dǎo)學(xué)生去思考，參與知識獲得的過程。因此，做好“余弦定理”的教學(xué)，不僅能復(fù)習(xí)鞏固舊知識，使學(xué)生掌握新的有用的知識，體會聯(lián)系、發(fā)展等辯證觀點，而且能培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)用意識和實踐操作能力，以及提出問題、解決問題等研究性學(xué)習(xí)的能力。

　　3、設(shè)計思路

　　建構(gòu)主義強調(diào)，學(xué)生并不是空著腦袋走進教室的。在日常生活中，在以往的學(xué)習(xí)中，他們已經(jīng)形成了豐富的經(jīng)驗，小到身邊的衣食住行，大到宇宙、星體的運行，從自然現(xiàn)象到社會生活，他們幾乎都有一些自己的看法。而且，有些問題即使他們還沒有接觸過，沒有現(xiàn)成的經(jīng)驗，但當(dāng)問題一旦呈現(xiàn)在面前時，他們往往也可以基于相關(guān)的經(jīng)驗，依靠他們的認知能力，形成對問題的某種解釋。而且，這種解釋并不都是胡亂猜測，而是從他們的經(jīng)驗背景出發(fā)而推出的合乎邏輯的假設(shè)。所以，教學(xué)不能無視學(xué)生的這些經(jīng)驗，另起爐灶，從外部裝進新知識，而是要把學(xué)生現(xiàn)有的知識經(jīng)驗作為新知識的生長點，引導(dǎo)學(xué)生從原有的知識經(jīng)驗中“生長”出新的知識經(jīng)驗。

　　為此我們根據(jù)“情境—問題”教學(xué)模式，沿著“設(shè)置情境—提出問題—解決問題—反思應(yīng)用”這條主線，把從情境中探索和提出數(shù)學(xué)問題作為教學(xué)的出發(fā)點，以“問題”為紅線組織教學(xué)，形成以提出問題與解決問題相互引發(fā)攜手并進的“情境—問題”學(xué)習(xí)鏈，使學(xué)生真正成為提出問題和解決問題的主體，成為知識的“發(fā)現(xiàn)者”和“創(chuàng)造者”，使教學(xué)過程成為學(xué)生主動獲取知識、發(fā)展能力、體驗數(shù)學(xué)的過程。根據(jù)上述精神，做出了如下設(shè)計：

　�、賱�(chuàng)設(shè)一個現(xiàn)實問題情境作為提出問題的背景；

　�、趩�發(fā)、引導(dǎo)學(xué)生提出自己關(guān)心的現(xiàn)實問題，逐步將現(xiàn)實問題轉(zhuǎn)化、抽象成過渡性數(shù)學(xué)問題，解決問題時需要使用余弦定理，借此引發(fā)學(xué)生的認知沖突，揭示解斜三角形的必要性，并使學(xué)生產(chǎn)生進一步探索解決問題的動機。然后引導(dǎo)學(xué)生抓住問題的數(shù)學(xué)實質(zhì)，引伸成一般的數(shù)學(xué)問題：已知三角形的兩條邊和他們的夾角，求第三邊。

　�、蹫榱私鉀Q提出的問題，引導(dǎo)學(xué)生從原有的'知識經(jīng)驗中“生長”出新的知識經(jīng)驗，通過作邊BC的垂線得到兩個直角三角形，然后利用勾股定理和銳角三角函數(shù)得出余弦定理的表達式，進而引導(dǎo)學(xué)生進行嚴格的邏輯證明。證明時，關(guān)鍵在于啟發(fā)、引導(dǎo)學(xué)生明確以下兩點：一是證明的起點；二是如何將向量關(guān)系轉(zhuǎn)化成數(shù)量關(guān)系。

　�、苡蓪W(xué)生獨立使用已證明的結(jié)論去解決中所提出的問題。

　　二、教學(xué)反思

　　本課中，教師立足于所創(chuàng)設(shè)的情境，通過學(xué)生自主探索、合作交流，親身經(jīng)歷了提出問題、解決問題、應(yīng)用反思的過程，學(xué)生成為余弦定理的“發(fā)現(xiàn)者”和“創(chuàng)造者”，切身感受了創(chuàng)造的苦和樂，知識目標、能力目標、情感目標均得到了較好的落實，為今后的“定理教學(xué)”提供了一些有用的借鑒。

　　例如，新課的引入，我引導(dǎo)學(xué)生從向量的模下手思考：

　　生：利用向量的模并借助向量的數(shù)量積。

　　教師：正確！由于向量的模長，夾角已知，只需將向量用向量來表示即可。易知，接下來只要把這個向量等式數(shù)量化即可。如何實現(xiàn)呢

　　學(xué)生：通過向量數(shù)量積的運算。

　　通過教師的引導(dǎo)，學(xué)生不難發(fā)現(xiàn)還可以寫成，不共線，這是平面向量基本定理的一個運用。因此在一些解三角形問題中，我們還可以利用平面向量基本定理尋找向量等式，再把向量等式化成數(shù)量等式，從而解決問題。

　　（從學(xué)生的“最近發(fā)展區(qū)”出發(fā)，證明方法層層遞進，激發(fā)學(xué)生探求新知的欲望，從而感受成功的喜悅。）

　　創(chuàng)設(shè)數(shù)學(xué)情境是“情境·問題·反思·應(yīng)用”教學(xué)的基礎(chǔ)環(huán)節(jié)，教師必須對學(xué)生的身心特點、知識水平、教學(xué)內(nèi)容、教學(xué)目標等因素進行綜合考慮，對可用的情境進行比較，選擇具有較好的教育功能的情境。

　　從應(yīng)用需要出發(fā)，創(chuàng)設(shè)認知沖突型數(shù)學(xué)情境，是創(chuàng)設(shè)情境的常用方法之一�！坝嘞叶ɡ怼本哂袕V泛的應(yīng)用價值，故本課中從應(yīng)用需要出發(fā)創(chuàng)設(shè)了教學(xué)中所使用的數(shù)學(xué)情境。該情境源于教材解三角形應(yīng)用舉例的例1實踐說明，這種將教材中的例題、習(xí)題作為素材改造加工成情境，是創(chuàng)設(shè)情境的一條有效途徑。只要教師能對教材進行深入、細致、全面的研究，便不難發(fā)現(xiàn)教材中有不少可用的素材。

　　“情境·問題·反思·應(yīng)用”教學(xué)模式主張以問題為“紅線”組織教學(xué)活動，以學(xué)生作為提出問題的主體，如何引導(dǎo)學(xué)生提出問題是教學(xué)成敗的關(guān)鍵，教學(xué)實驗表明，學(xué)生能否提出數(shù)學(xué)問題，不僅受其數(shù)學(xué)基礎(chǔ)、生活經(jīng)歷、學(xué)習(xí)方式等自身因素的影響，還受其所處的環(huán)境、教師對提問的態(tài)度等外在因素的制約。因此，教師不僅要注重創(chuàng)設(shè)適宜的數(shù)學(xué)情境（不僅具有豐富的內(nèi)涵，而且還具有“問題”的誘導(dǎo)性、啟發(fā)性和探索性），而且要真正轉(zhuǎn)變對學(xué)生提問的態(tài)度，提高引導(dǎo)水平，一方面要鼓勵學(xué)生大膽地提出問題，另一方面要妥善處理學(xué)生提出的問題。關(guān)注學(xué)生學(xué)習(xí)的結(jié)果，更關(guān)注學(xué)生學(xué)習(xí)的過程；關(guān)注學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的水平，更關(guān)注學(xué)生在數(shù)學(xué)活動中所表現(xiàn)出來的情感與態(tài)度；關(guān)注是否給學(xué)生創(chuàng)設(shè)了一種情境，使學(xué)生親身經(jīng)歷了數(shù)學(xué)活動過程。把“質(zhì)疑提問”，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)問題意識，提高學(xué)生提出數(shù)學(xué)問題的能力作為教與學(xué)活動的起點與歸宿。

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