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高中數(shù)學(xué)必備函數(shù)知識(shí)點(diǎn)公式及練習(xí)題
(1)高中函數(shù)公式的變量：因變量，自變量。
在用圖象表示變量之間的關(guān)系時(shí)，通常用水平方向的數(shù)軸上的點(diǎn)自變量，用豎直方向的數(shù)軸上的點(diǎn)表示因變量。
(2)一次函數(shù)：①若兩個(gè)變量間的關(guān)系式可以表示成為常數(shù)，不等于0)的形式，則稱是的一次函數(shù)。
�、诋�(dāng)=0時(shí)，稱是的正比例函數(shù)。
(3)高中函數(shù)的一次函數(shù)的圖象及性質(zhì)
①把一個(gè)函數(shù)的自變量與對(duì)應(yīng)的因變量的值分別作為點(diǎn)的橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)，在直角坐標(biāo)系內(nèi)描出它的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，所有這些點(diǎn)組成的圖形叫做該函數(shù)的圖象。
②正比例函數(shù)的圖象是經(jīng)過原點(diǎn)的一條直線。
③在一次函數(shù)中，當(dāng)0，O，則經(jīng)2、3、4象限;當(dāng)0，0時(shí)，則經(jīng)1、2、4象限;當(dāng)0，0時(shí)，則經(jīng)1、3、4象限;當(dāng)0，0時(shí)，則經(jīng)1、2、3象限。
�、墚�(dāng)0時(shí)，的值隨值的增大而增大，當(dāng)0時(shí)，的值隨值的增大而減少。
(4)高中函數(shù)的二次函數(shù)：
如何應(yīng)對(duì)高考數(shù)學(xué)難題？
這個(gè)，其實(shí)很多不了解這個(gè)，的難度并不是層層遞增，有時(shí)候我們打個(gè)比方，這個(gè)應(yīng)該叫做梯度螺旋上升，那個(gè)難度有點(diǎn)像這樣了，就是上去了下來了，上去了下來了，就這種感覺。
你比如說選擇題，1到8，肯定是逐漸變難，到了填空題，第一個(gè)肯定要比，就是試卷中的第9題，一定要比第8題簡(jiǎn)單，到了填空題又是重新來，所以這是梯度螺旋上升。所以一般我們說你別看小題的最后一道，肯定比解答題第一道還難，學(xué)生應(yīng)該了解，其實(shí)命題為什么這么命題？其實(shí)也是體現(xiàn)了一種人文關(guān)懷，就是希望學(xué)生呢，你前面小題做得差不多，到了后面一些小困難的話，由簡(jiǎn)到難，他可能信心上起來，最后難題也能做出來了，這是很好的。
考生真是遇到不會(huì)做的題，很有可能是這個(gè)題型板塊中比較靠后的，這個(gè)對(duì)于每個(gè)人來說都不太好做，以北京卷為例，84、20，這個(gè)題肯定不好做，你20題不會(huì)做根本不用什么難過，好多學(xué)生連看都不用看，所以這種題不會(huì)做不用很擔(dān)心，不會(huì)做很正常，開句玩笑，你會(huì)做才不正常，你要是會(huì)做試卷沒有區(qū)分度了。
所以很多學(xué)生不是末尾的題不會(huì)做，而是之前的題，就是螺旋上升中間的時(shí)候有點(diǎn)困難，這個(gè)時(shí)候心態(tài)會(huì)產(chǎn)生很大變化，他想知道遇到這個(gè)情況怎么處理，這個(gè)問題真的很好，你要考慮得非常全面，如果中不是末尾題，而是做到中間有困難應(yīng)該怎么辦？第一個(gè)還是心態(tài)很重要，你要知道，它前面從命題人角度來說，他不希望你這個(gè)題做到一半卡住，他可能最后的時(shí)候把這個(gè)分?jǐn)?shù)收起來，不會(huì)讓你得分，所以之前的題你不會(huì)做可能由于緊張，可能你剛上考場(chǎng)，比較緊，沒有放開，一下卡住了，所以你千萬別緊張，有時(shí)候我們說這時(shí)候你要冷靜，平和一下心態(tài)，把好好分析分析，看看這個(gè)題突破口在哪兒？冷靜思考思考，可能問題就解決了。
有時(shí)候我們說，其實(shí)你看，將來考試真是這，他每個(gè)題出來長(zhǎng)得都是挺嚇人的，我們小時(shí)候看的《西游記》一樣，妖怪出來都挺嚇人的，孫悟空一打，最后其實(shí)都是一些小動(dòng)物，小貓小狗，題感覺都一樣，每個(gè)題出來感覺都挺嚇人，長(zhǎng)得千奇百怪，尤其現(xiàn)在課標(biāo)改了以后，它會(huì)考你讀題和分析，所以每個(gè)題出來提綱都很長(zhǎng)，很多人非常不適應(yīng)處理這個(gè)題，所以你千萬要冷靜，別看這個(gè)題長(zhǎng)得挺怪就嚇住你了，所以重要思想就是轉(zhuǎn)化和劃歸，你要把這個(gè)題轉(zhuǎn)化成熟悉的問題，所以你一定要冷靜，分析分析，其實(shí)這個(gè)題并不見得難度很大，所以調(diào)整好心態(tài)，比如深呼吸、放冷靜，然后再看一看，分析分析，它到底是想考什么內(nèi)容，給它準(zhǔn)確定位，然后很可能這個(gè)題自然就出來了。
但是有些題我分析分析想一想還是挺難的，這個(gè)時(shí)候怎而辦呢？你比如我舉個(gè)例子，像全國(guó)有一年 高中化學(xué)，考的第一題選擇題，就考了一個(gè)幾何，他那個(gè)幾何本身其實(shí)也不很難，他考了一個(gè)摩根定律，摩根定律準(zhǔn)確說課本中其實(shí)是沒有的，好多人連兩項(xiàng)的摩根定律都記不住，而且那個(gè)題考的是三項(xiàng)摩根定律，所以第一題就考了，好多人上來考場(chǎng)，然后一做他就蒙了，就感覺今年廢了，難道我數(shù)學(xué)一分都得不上，第一題就不會(huì)了，就感覺很緊張。
如果真是遇見這種題的話，你也不用太慌張，有時(shí)候我們就說什么情況呢？錯(cuò)誤的想法，一看不會(huì)做的題，就是我完了，其實(shí)正確的想法應(yīng)該是大家都完了，就是這些題可能也會(huì)出現(xiàn)，但是你千萬別緊張，調(diào)整好心態(tài)。
然后如果是小題遇見的話，你必須先圈住，對(duì)吧，別著急在那兒糾結(jié)半天，好多人一個(gè)小題做十分鐘，那個(gè)真是會(huì)影響后面解答題做的，所以你可以先圈住，可能你第一開始剛上考場(chǎng)，還是我說的，思維有點(diǎn)緊，然后你后面題做完了，你心態(tài)可能也平和一點(diǎn)了，回來再反攻，可能一些問題就可以做出來了，也不一定。
所以還是遇見這種真不會(huì)做的題，我們通常說，如果是選擇填空，你可以先空下來，然后回來再去反攻，如果反攻還不行的話，就是我們說有時(shí)候小題是有技巧的，比如還是剛才那個(gè)，舉的05年全國(guó)交考的那個(gè)題，它其實(shí)考了三個(gè)集合，三個(gè)集合并起來，等于（全集優(yōu)），然后問你下列ABCD哪個(gè)正確，所以你不見得會(huì)做這個(gè)題，你可以用一些技巧。比如人家有的人很，他說三個(gè)集合并起來是（全集優(yōu)），人家舉個(gè)例子，我說第一個(gè)集合一二，然后二三，第二集合二三，第三集合三四，那么全集優(yōu)就一二三四，我把我構(gòu)造的這三個(gè)集合代到ABCD中去驗(yàn)證，就類似于這種小技巧，其實(shí)選擇填空也可以用上。
如果遇到大題，如果真的不會(huì)，然后我又分析了半天也沒有想到，這個(gè)時(shí)候我們應(yīng)該怎么辦？一般我們告訴學(xué)生就是，你就盡量寫唄，因?yàn)閷砜荚嚕覀兣芯硪彩沁@樣，他不可能是你最后結(jié)果出來了，我就給你，你結(jié)果不正確我一分不給你，那不可能的，解答題他是論步給分，對(duì)吧，所以如果你要不會(huì)做你盡量寫上，反正寫錯(cuò)他也不扣分，所以你使勁往上寫，把你會(huì)的都寫，所有的提示都寫上，將來起碼會(huì)得到一些步驟分，所以你也不用太緊張，調(diào)整好你的心態(tài)，遇見不會(huì)做的題，首先是冷靜，好好分析分析，現(xiàn)在課標(biāo)改了以后，其實(shí)難題比重不會(huì)很大，像原來高考數(shù)學(xué)真是，用一句話說是很難很難的，有的題真的是太難了，我們都做不出來，像現(xiàn)在特別難的題比重在降低，有些題其實(shí)是比較靈活，所以你千萬別緊張。
然后另外一個(gè)小題如果不會(huì)，可以多想一想技巧，看我能不能用其它技巧把它做出來，你選擇題不能當(dāng)填空題做，填空題也不能當(dāng)解答題做，他是不計(jì)過程的，你各種辦法做出來都可以，然后解答題遇到真不會(huì)做的，你就盡量寫，順著他那個(gè)題的意思，然后把你能寫上去的都寫上去。
其實(shí)他那個(gè)評(píng)分的時(shí)候，學(xué)生可能不知道，他拿的可能是評(píng)分細(xì)則，那個(gè)評(píng)分細(xì)則中，分?jǐn)?shù)是精確到一分的，他有時(shí)候拿的標(biāo)答里面，有時(shí)候可能只給兩段，對(duì)吧，你第一部分做出來給你6分，第二部分做出來給你7分，實(shí)際上考試并不是這樣的，實(shí)際上判卷的話，它可能會(huì)精確到一分一分的，有時(shí)候判卷，并不是給你挑錯(cuò)的，是給你對(duì)的，就是他會(huì)找你這個(gè)試卷中哪個(gè)地方會(huì)得分，所以你就盡量寫，把你會(huì)的都寫上去，得一些步驟分，這個(gè)其實(shí)很關(guān)鍵，就是這樣。
三角形面積公式
由不在同一直線上的三條線段首尾順次連接所組成的封閉圖形叫做三角形。 平面上三條直線或球面上三條弧線所圍成的圖形。 三條直線所圍成的圖形叫平面三角形；三條弧線所圍成的圖形叫球面三角形，也叫三邊形。
面積公式：
（1）S＝ah/2
(2).已知三角形三邊a,b,c，則 （海倫公式）（p=(a+b+c)/2）
S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]
=（1/4）√[(a+b+c)(a+b-c)(a+c-b)(b+c-a)]
(3).已知三角形兩邊a,b,這兩邊夾角C，則S＝1/2 * absinC
(4).設(shè)三角形三邊分別為a、b、c，內(nèi)切圓半徑為r
S=(a+b+c)r/2
(5).設(shè)三角形三邊分別為a、b、c，外接圓半徑為R
S=abc/4R
(6).根據(jù)三角函數(shù)求面積：
S= absinC/2 a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R
注:其中R為外切圓半徑。
3.4基本不等式
重難點(diǎn)：了解基本不等式的證明過程；會(huì)用基本不等式解決簡(jiǎn)單的最大（�。┲祮栴}．
考綱要求：①了解基本不等式的證明過程．
②會(huì)用基本不等式解決簡(jiǎn)單的最大（�。┲祮栴}．
經(jīng)典例題：若a，b，c都是小于1的正數(shù)，求證：，，不可能同時(shí)大于．
當(dāng)堂練習(xí)：
1. 若，下列不等式恒成立的是 （ ）
A． B． C． D．
2. 若且，則下列四個(gè)數(shù)中最大的是 （ ）
�。粒� Ｂ． Ｃ．2ab Ｄ．a(chǎn)
3. 設(shè)x>0,則的最大值為 （ ）
�。粒�3 Ｂ． Ｃ． Ｄ．－1
4. 設(shè)的最小值是( )
A. 10 B. C. D.
5. 若x, y是正數(shù)，且，則xy有 （ ）
Ａ．最大值16 Ｂ．最小值 Ｃ．最小值16 Ｄ．最大值
6. 若a, b, c∈R，且ab+bc+ca=1, 則下列不等式成立的是 （ ）
A． B．
C． D．
7. 若x>0, y>0,且x+y4,則下列不等式中恒成立的是 （ ）
A． B． C． D．
8. a,b是正數(shù)，則三個(gè)數(shù)的大小順序是 （ ）
�。粒� Ｂ．
Ｃ． Ｄ．
9. 某產(chǎn)品的產(chǎn)量第一年的增長(zhǎng)率為p，第二年的增長(zhǎng)率為q，設(shè)這兩年平均增長(zhǎng)率為x，則有（ ）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
10. 下列函數(shù)中，最小值為4的是 （ ）
Ａ． Ｂ．
�。茫� Ｄ．
11. 函數(shù)的最大值為 .
12. 建造一個(gè)容積為18m3, 深為2m的長(zhǎng)方形無蓋水池，如果池底和池壁每m2 的造價(jià)為200元和150元，那么池的最低造價(jià)為 元.
13. 若直角三角形斜邊長(zhǎng)是1，則其內(nèi)切圓半徑的最大值是 .
14. 若x, y為非零實(shí)數(shù)，代數(shù)式的值恒為正，對(duì)嗎？答 .
15. 已知：, 求mx+ny的最大值.
16. 已知．若、, 試比較與的大小，并加以證明.
17. 已知正數(shù)a, b滿足a+b=1（1）求ab的取值范圍;（2）求的最小值.
18. 設(shè).證明不等式 對(duì)所有的正整數(shù)n都成立.
參考答案：
經(jīng)典例題：
【 解析】 證法一 假設(shè)，，同時(shí)大于，
∵ 1－a>0，b>0，∴ ≥，
同理，.三個(gè)不等式相加得，不可能，
∴ (1－a)b，(1－b)c，(1－c)a不可能同時(shí)大于.
證法二 假設(shè)，，同時(shí)成立，
∵ 1－a>0，1－b>0，1－c>0，a>0，b>0，c>0，∴ ，
即. （*） 又∵ ≤，
同理≤，≤，
∴≤與（*）式矛盾，
故不可能同時(shí)大于.
當(dāng)堂練習(xí)：
1.A; 2.B; 3.C; 4.D; 5.C; 6.A; 7.B; 8.C; 9.C; 10.C;11. ; 12. 3600 ;
13. ; 14. 對(duì);
15．
16. 【 解析】 ．
當(dāng)且僅當(dāng)＝時(shí)，取“＝”號(hào)．
當(dāng)時(shí)，有．
即．
當(dāng)時(shí)，有．
即
17. (1) (2)
18．【 解析】 證明 由于不等式
對(duì)所有的正整數(shù)k成立,把它對(duì)k從1到n(n≥1)求和,得到
又因 以及
因此不等式對(duì)所有的正整數(shù)n都成立.
1.4常用邏輯用語單元測(cè)試
1．函數(shù)f（x）=x|x+a|+b是奇函數(shù)的充要條件是 （ ）
A．a(chǎn)b=0 B．a(chǎn)+b=0 C．a(chǎn)=b D．a(chǎn)2+b2=0
2．“至多有三個(gè)”的否定為 （ ）
A．至少有三個(gè) B．至少有四個(gè) C．有三個(gè) D．有四個(gè)
3．有金盒、銀盒、鉛盒各一個(gè)，只有一個(gè)盒子里有肖像．金盒上寫有命題p：肖像在這個(gè)盒子里；銀盒上寫有命題q：肖像不在這個(gè)盒子里；鉛盒上寫有命題r：肖像不在金盒里．p、q、r中有且只有一個(gè)是真命題，則肖像在 （ ）
A．金盒里 B．銀盒里
C．鉛盒里 D．在哪個(gè)盒子里不能確定
4．不等式 對(duì)于恒成立，那么的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
5．“a和b都不是偶數(shù)”的否定形式是 （ ）
A．a(chǎn)和b至少有一個(gè)是偶數(shù) B．a(chǎn)和b至多有一個(gè)是偶數(shù)
C．a(chǎn)是偶數(shù)，b不是偶數(shù) D．a(chǎn)和b都是偶數(shù)
6．某食品的廣告詞為：“幸福的人們都擁有”，初聽起來，這似乎只是普通的贊美說詞，然
而他的實(shí)際效果大哩，原來這句話的等價(jià)命題是 （ ）
A．不擁有的人們不一定幸福 B．不擁有的人們可能幸福
C．擁有的人們不一定幸福 D．不擁有的人們不幸福
7．若命題“p或q”為真，“非p”為真，則 （ ）
A．p真q真 B．p假q真 C．p真q假 D．p假q假
8．條件p：，，條件q：，，則條件p是條件q的（ ）
A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件
C．充要條件 D．即不充分也不必要條件
9．2x2－5x－3＜0的一個(gè)必要不充分條件是 （ ）
A．－＜x＜3 B．－＜x＜0 C．－3＜x＜ D．－1＜x＜6
10．設(shè)原命題：若a+b≥2，則a,b 中至少有一個(gè)不小于1。則原命題與其逆命題的真假情況是（ ）
A．原命題真，逆命題假 B．原命題假，逆命題真
C．原命題與逆命題均為真命題 D．原命題與逆命題均為假命題
11．下列命題中_________為真命題．
①“A∩B=A”成立的必要條件是“AB”；
�、凇叭魓2+y2=0，則x，y全為0”的否命題；
③“全等三角形是相似三角形”的逆命題；
④“圓內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ)”的逆否命題。
12．若p：“平行四邊形一定是菱形”，則“非p”為___ _____。
13．已知p，q都是r的必要條件，s是r的充分條件,q是s的充分條件，則s是q的 條件，r是q的 條件，p是s的 條件。
14．設(shè)p、q是兩個(gè)命題，若p是q的充分不必要條件，那么非p是非q的 條件。
15．分別寫出下列命題的逆命題，否命題，逆否命題，并判斷其真假。
（1）矩形的對(duì)角線相等且互相平分；
�。�2）正偶數(shù)不是質(zhì)數(shù)。
16．寫出由下述各命題構(gòu)成的“p或q”，“p且q”，“非p”形式的復(fù)合命題，并指出所構(gòu)成的這些復(fù)合命題的真假.
（1）p：連續(xù)的三個(gè)整數(shù)的乘積能被2整除，q：連續(xù)的三個(gè)整數(shù)的乘積能被3整除。
�。�2）p：對(duì)角線互相垂直的四邊形是菱形，q：對(duì)角線互相平分的四邊形是菱形。
17．給定兩個(gè)命題,
�。簩�(duì)任意實(shí)數(shù)都有恒成立；：關(guān)于的方程有實(shí)數(shù)根；如果與中有且僅有一個(gè)為真命題，求實(shí)數(shù)的取值范圍。
18．已知p，q都是r的必要條件，s是r的充分條件，q是s的充分條件，那么
（1）s是q的什么條件？（2）r是q的什么條件？（3）p是q的什么條件？
19．設(shè)0<a, b, c<1，求證：（1－a）b，（1－b）c，（1－c）a不同時(shí)大于．
20．求證：關(guān)于x的方程x2+2ax+b=0 有實(shí)數(shù)根，且兩根均小于2的充分但不必要條件是a≥2且|b| ≤4.
參考答案：
1.D; 2.B; 3.B; 4.B; 5.A; 6.D; 7.B; 8.A; 9.D; 10.A; 11. ②④; 12. 平行四邊形不一定是菱形；或至少存在一個(gè)平行四邊形不是菱形; 13. 必要，充分，必要;14. 必要不充分
15．本題考查四種命題間的關(guān)系．
解：（1）逆命題：若一個(gè)四邊形的對(duì)角線相等且互相平分，則它是矩形（假命題）．
否命題：若一個(gè)四邊形不是矩形，則它的對(duì)角線不相等或不互相平分（假命題）．
逆否命題：若一個(gè)四邊形的對(duì)角線不相等或不互相平分，則它不是矩形（真命題）．
�。�2）逆命題：如果一個(gè)正數(shù)不是質(zhì)數(shù)，那么這個(gè)正數(shù)是正偶數(shù)（假命題）．
否命題：如果一個(gè)正數(shù)不是偶數(shù)，那么這個(gè)數(shù)是質(zhì)數(shù)（假命題）．
逆否命題：如果一個(gè)正數(shù)是質(zhì)數(shù)，那么這個(gè)數(shù)不是偶數(shù)（假命題）．
16．解：（1）根據(jù)真值表，復(fù)合命題可以寫成簡(jiǎn)單形式：
p或q：連續(xù)的三個(gè)整數(shù)的乘積能被2或能被3整除.
p且q：連續(xù)的三個(gè)整數(shù)的乘積能被2且能被3整除.
非p：存在連續(xù)的三個(gè)整數(shù)的乘積不能被2整除.
∵連續(xù)的三整數(shù)中有一個(gè)（或兩個(gè)）是偶數(shù)，而有一個(gè)是3的倍數(shù)，
∴p真，q真，∴p或q與p且q均為真，而非p為假.
�。�2）根據(jù)真值表，只能用邏輯聯(lián)結(jié)詞聯(lián)結(jié)兩個(gè)命題，不能寫成簡(jiǎn)單形式：
p或q：對(duì)角線互相垂直的四邊形是菱形或?qū)蔷�互相平分的四邊形是菱形.
p且q：對(duì)角線互相垂直的四邊形是菱形且對(duì)角線互相平分的四邊形是菱形.
非p：存在對(duì)角線互相垂直的四邊形不是菱形.
∵p假q假，∴p或q與p且q均為假，而非p為真.
17．解：對(duì)任意實(shí)數(shù)都有恒成立
；關(guān)于的方程有實(shí)數(shù)根；如果P正確，且Q不正確，有；如果Q正確，且P不正確，有。所以實(shí)數(shù)的取值范圍為。
18．本題考查充要條件、充分條件、必要條件．對(duì)于這類問題，將語言敘述符號(hào)化，畫出它們的綜合結(jié)構(gòu)圖，再給予判定．
解：p、q、r、s的關(guān)系如圖所示，由圖可知
答案：（1）s是q的充要條件 （2）r是q的充要條件 （3）p是q的必要條件
19．證明：用反證法，假設(shè)，①+②+③得：
，左右矛盾，故假設(shè)不成立，∴（1－a）b,（1－b）c，（1－c）a不同時(shí)大于.
20．解析：先證充分性，而必要性只需要通過舉反例來否定.
先證明條件的充分性：
∴方程有實(shí)數(shù)根 ①
�、�、②知“a≥2且|b|≤4” “方程有實(shí)數(shù)根，且兩根均小于2”.
再驗(yàn)證條件不必要：
∵方程x2－x=0的兩根為x1=0, x2=1，則方程的兩根均小于2，而a=－<2，
∴“方程的兩根小于2” “a≥2且|b|≤4”.
綜上，a≥2且|b|≤4是方程有實(shí)數(shù)根且兩根均小于2的充分但不必要條件.
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