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“數(shù)據(jù)分析觀念”的內(nèi)涵及教學(xué)建議
“數(shù)據(jù)分析觀念”的內(nèi)涵及教學(xué)建議數(shù)學(xué)教育熱點(diǎn)問(wèn)題系列訪談錄
摘要：統(tǒng)計(jì)是數(shù)據(jù)分析的科學(xué)和藝術(shù)，統(tǒng)計(jì)課程的核心是發(fā)展學(xué)生的數(shù)據(jù)分析觀念。準(zhǔn)確把握數(shù)據(jù)分析觀念的內(nèi)涵是進(jìn)行統(tǒng)計(jì)課程設(shè)計(jì)、教科書編寫和教學(xué)實(shí)施的必要前提和重要基礎(chǔ)。體會(huì)數(shù)據(jù)中蘊(yùn)涵著信息、認(rèn)識(shí)到需要根據(jù)問(wèn)題的背景選擇合適的方法、通過(guò)數(shù)據(jù)分析體驗(yàn)隨機(jī)性是數(shù)據(jù)分析觀念的重要方面。義務(wù)教育階段統(tǒng)計(jì)教學(xué)關(guān)鍵是使學(xué)生想到用數(shù)據(jù)，愿意“親近”數(shù)據(jù)，能從數(shù)據(jù)中提取信息。
關(guān)鍵詞：數(shù)據(jù)分析觀念;教學(xué)建議
我國(guó)在基礎(chǔ)教育階段將統(tǒng)計(jì)作為重要的學(xué)習(xí)內(nèi)容，隨著大家對(duì)統(tǒng)計(jì)教學(xué)的不斷探索和實(shí)踐，人們逐漸認(rèn)識(shí)到對(duì)于統(tǒng)計(jì)學(xué)習(xí)而言，重要的不是畫統(tǒng)計(jì)圖、求平均數(shù)等技能的學(xué)習(xí)，而是發(fā)展學(xué)生的數(shù)據(jù)分析觀念。那么，數(shù)據(jù)分析觀念到底體現(xiàn)在哪些方面呢?如何設(shè)計(jì)課程和實(shí)施教學(xué)，才能更好地發(fā)展學(xué)生的數(shù)據(jù)分析觀念呢?本文訪談了東北師范大學(xué)著名統(tǒng)計(jì)學(xué)家史寧中教授，并輔助于資料查詢等形式就這些問(wèn)題提出了一些思考。
一、發(fā)展學(xué)生的數(shù)據(jù)分析觀念
問(wèn)：您在多種場(chǎng)合不斷強(qiáng)調(diào)，無(wú)論哪一部分內(nèi)容的學(xué)習(xí)，都應(yīng)該抓住這部分的核心內(nèi)容，那么統(tǒng)計(jì)學(xué)習(xí)的核心內(nèi)容是什么呢?
▲史教授：首先必須明確的是，我們希望在課程中給出一些關(guān)鍵詞。關(guān)鍵詞是某部分學(xué)習(xí)的核心內(nèi)容。核心內(nèi)容不是指具體的知識(shí)點(diǎn)，甚至不是指具體的知識(shí)本身，而是概括很多知識(shí)的共性所反映出來(lái)的思想和思維方式，這個(gè)就叫做核心詞，或者叫做核心內(nèi)容。統(tǒng)計(jì)最核心的就是數(shù)據(jù)分析，統(tǒng)計(jì)是處理數(shù)據(jù)的一門科學(xué)和藝術(shù)。在這部分內(nèi)容中，我們提出了數(shù)據(jù)分析觀念的核心詞，就跟代數(shù)學(xué)習(xí)里的數(shù)感、符號(hào)意識(shí)、模型等都是核心內(nèi)容。
▲問(wèn)：統(tǒng)計(jì)的核心是數(shù)據(jù)分析，那么到底是什么是數(shù)據(jù)呢，數(shù)據(jù)與數(shù)有什么關(guān)系呢?
▲史教授：我們?cè)诹x務(wù)教育階段處理的數(shù)據(jù)主要是用數(shù)來(lái)表達(dá)的，當(dāng)然這些數(shù)都是有實(shí)際背景的。脫離實(shí)際問(wèn)題的單純地?cái)?shù)的研究是數(shù)與代數(shù)的內(nèi)容，不是統(tǒng)計(jì)的內(nèi)容。但是，這些年隨著信息的迅速增長(zhǎng)，我們需要擴(kuò)大對(duì)數(shù)據(jù)的認(rèn)識(shí)。事實(shí)上，現(xiàn)在的數(shù)據(jù)不僅僅是數(shù)，圖是數(shù)據(jù)、語(yǔ)句也是數(shù)據(jù)。比如，人們?cè)诰W(wǎng)上經(jīng)常用GOOGLE來(lái)進(jìn)行檢索，GOOGLE是用統(tǒng)計(jì)的方法來(lái)進(jìn)行語(yǔ)句檢索，此時(shí)統(tǒng)計(jì)處理的是語(yǔ)句，我們把這些都叫做數(shù)據(jù)。
▲問(wèn)：能不能這樣理解，只要蘊(yùn)含著一定信息，無(wú)論是什么表現(xiàn)形式，就是數(shù)據(jù)，統(tǒng)計(jì)能幫助人們從這些數(shù)據(jù)中提取出大量的信息?
▲史教授：是這樣的。人們?cè)趯?shí)際生活和各行各業(yè)中面臨的數(shù)據(jù)越來(lái)越多，必須樹立利用數(shù)據(jù)的意識(shí)，掌握一些分析數(shù)據(jù)的方法和模型。所以，數(shù)據(jù)分析觀念是非常重要的。數(shù)據(jù)分析觀念主要體現(xiàn)在三個(gè)方面：第一，了解在現(xiàn)實(shí)生活中有許多問(wèn)題應(yīng)當(dāng)先做調(diào)查研究，收集數(shù)據(jù)，通過(guò)分析做出判斷，體會(huì)數(shù)據(jù)中是蘊(yùn)涵著信息的。第二，了解對(duì)于同樣的數(shù)據(jù)可以有多種分析的方法，需要根據(jù)問(wèn)題的背景選擇合適的方法。第三，通過(guò)數(shù)據(jù)分析體驗(yàn)隨機(jī)性。
二、數(shù)據(jù)隨機(jī)性的內(nèi)涵和教學(xué)
(一)數(shù)學(xué)隨機(jī)性的內(nèi)涵
問(wèn)：對(duì)于很多人而言，對(duì)第三點(diǎn)“通過(guò)數(shù)據(jù)分析體驗(yàn)隨機(jī)性”都比較陌生。首先遇到的一個(gè)困難是，數(shù)據(jù)隨機(jī)性的涵義是什么呢?
▲史教授：簡(jiǎn)單而言，數(shù)據(jù)的隨機(jī)主要有兩層涵義：一方面對(duì)于同樣的事情每次收集到的數(shù)據(jù)可能會(huì)是不同的;另一方面只要有足夠的數(shù)據(jù)就可能從中發(fā)現(xiàn)規(guī)律。舉一個(gè)例子，袋中裝有若干個(gè)紅球和白球，一方面，每次摸出的球的顏色可能是不一樣的，事先無(wú)法確定;另一方面，有放回重復(fù)摸多次(摸完后將球放回袋中，搖晃均勻后再摸)，從摸到的球的顏色的數(shù)據(jù)中就能發(fā)現(xiàn)一些規(guī)律，比如紅球多還是白球多、紅球和白球的比例等。
問(wèn)：那么，構(gòu)成數(shù)據(jù)隨機(jī)性的原因主要有哪些呢?
▲史教授：一般來(lái)說(shuō)，產(chǎn)生隨機(jī)有兩方面的原因。
一方面，是運(yùn)用部分來(lái)推斷總體，我們知道這是統(tǒng)計(jì)的一個(gè)基本思想。這里首先假設(shè)每一次實(shí)驗(yàn)取得的數(shù)據(jù)是來(lái)源于一個(gè)總體的，這是很重要的一個(gè)假設(shè)。比如上面提到的摸球例子，第一需要假設(shè)摸的是同一個(gè)袋子里的球，而且是有放回的摸;第二，摸之前需要晃一晃，搖晃均勻了。為什么要強(qiáng)調(diào)這些呢，就是要保證每一次要處理的事情都是一樣的，數(shù)據(jù)是來(lái)源于一個(gè)總體的。有了這個(gè)假設(shè)后就去做重復(fù)實(shí)驗(yàn)，每一次在摸之前，你不可能知道這次摸的是什么結(jié)果，但是摸的次數(shù)多了，就能估計(jì)出來(lái)摸到各種結(jié)果的可能性是多大，由此推斷總體的情況。比如在上面的例子中，可以推斷袋子中什么顏色的球多，各種顏色球的比例，如果知道了袋中球的總數(shù)，我們還可以推斷出各種球的數(shù)量。但是，由于是用部分來(lái)推斷總體，就不能擔(dān)保推斷一定是準(zhǔn)確無(wú)誤的，而是允許結(jié)論可能出錯(cuò)。好的統(tǒng)計(jì)方法的主要標(biāo)志就是出錯(cuò)的可能性較小。
另一方面，是重復(fù)測(cè)量中的誤差。對(duì)一些數(shù)據(jù)，特別是連續(xù)型數(shù)據(jù)總是有測(cè)量誤差的，而產(chǎn)生誤差的原因是多方面的。比如多次測(cè)量同一人的身高，由于測(cè)量工具、觀察者的角度、測(cè)量時(shí)間等各種各樣的原因，每次測(cè)量的結(jié)果可能都是不一樣的，測(cè)量數(shù)據(jù)是隨機(jī)的。但是如果出現(xiàn)隨機(jī)誤差的平均是零，也就是有時(shí)候比真實(shí)結(jié)果大一點(diǎn)，有時(shí)候比真實(shí)結(jié)果小一點(diǎn)，平均下來(lái)零，這個(gè)時(shí)候就能研究了，如何進(jìn)行研究這里就不細(xì)談了。主要是以上兩方面原因構(gòu)成了我們研究問(wèn)題的隨機(jī)性。
(二)數(shù)據(jù)隨機(jī)性的教學(xué)
問(wèn)：說(shuō)到這里，我感覺(jué)您非常強(qiáng)調(diào)運(yùn)用統(tǒng)計(jì)(數(shù)據(jù)分析)來(lái)幫助學(xué)生體會(huì)隨機(jī)。不少老師有這樣的一個(gè)困惑，概率也是研究隨機(jī)現(xiàn)象的，在概率中教師也組織學(xué)生做了很多摸球、擲硬幣等游戲。那么為什么又提出數(shù)據(jù)的隨機(jī)性呢?
▲史教授：我聽了一些課，老師們經(jīng)常這樣處理：比如對(duì)于擲一枚均勻的硬幣，先得到出現(xiàn)正面或反面的概率是二分之一，然后讓學(xué)生通過(guò)反復(fù)擲硬幣去驗(yàn)證這個(gè)結(jié)果(二分之一)。這里有兩個(gè)問(wèn)題。第一，一個(gè)硬幣，先假定它出現(xiàn)正面和反面的可能性是二分之一，這是數(shù)學(xué)(或者稱為概率)。這個(gè)二分之一是通過(guò)概率的定義得到的，不是依靠擲硬幣驗(yàn)證出來(lái)的。實(shí)際上，學(xué)生做了很多次實(shí)驗(yàn)也得不到二分之一，反而更加糊涂了。第二，運(yùn)用定義的方式教學(xué)隨機(jī)，不能很好的培養(yǎng)學(xué)生的隨機(jī)觀念。
需要指出的是，我們贊成做實(shí)驗(yàn)，贊成運(yùn)用統(tǒng)計(jì)的思想來(lái)做實(shí)驗(yàn)。統(tǒng)計(jì)是通過(guò)數(shù)據(jù)來(lái)獲取一些信息，來(lái)幫助人們做出一些判斷。同樣是擲硬幣的問(wèn)題，在統(tǒng)計(jì)上就會(huì)這樣設(shè)計(jì)實(shí)驗(yàn)：先讓學(xué)生多次擲硬幣，計(jì)算出現(xiàn)正面的比例(頻率)，然后用頻率來(lái)估計(jì)一下出現(xiàn)正面的可能性是多大。如果這個(gè)可能性接近二分之一的話，就推斷這個(gè)硬幣大概是均勻的，這是統(tǒng)計(jì)的思想。
對(duì)于先給出定義，教師往往比較習(xí)慣，而對(duì)于“逆過(guò)來(lái)”通過(guò)數(shù)據(jù)來(lái)進(jìn)行推斷，教師往往比較陌生。為了幫助大家理解，再闡述一下上面的摸球的例子。同樣是一個(gè)袋子里有5個(gè)球，4個(gè)白球、1個(gè)紅球，如果讓學(xué)生通過(guò)摸來(lái)驗(yàn)證出現(xiàn)白球的可能性是五分之四、出現(xiàn)紅球的可能性是五分之一，這不是統(tǒng)計(jì)。統(tǒng)計(jì)是這樣的，告訴學(xué)生們袋子里有很多球，有白顏色的和紅顏色的。讓孩子們?nèi)ッ�，摸到一定程度的時(shí)候，學(xué)生發(fā)現(xiàn)摸出白球的次數(shù)比紅球的次數(shù)多，由此推斷袋子里白球可能比紅球多。進(jìn)一步的話，能推斷出白球和紅球的比例大概是多少。再告訴球的總數(shù)的時(shí)候，能夠估計(jì)出來(lái)幾個(gè)白球和幾個(gè)紅球，這個(gè)是統(tǒng)計(jì)的過(guò)程。
我并不是反對(duì)前一種教法本身，而是說(shuō)如果這么教，蘊(yùn)含的隨機(jī)思想并不強(qiáng)，學(xué)生也不感興趣，都知道了概率為什么還要做實(shí)驗(yàn)。而后來(lái)的這種教法，學(xué)生體會(huì)到每一次摸的結(jié)果事先都不知道，但是摸多了能夠幫助我們做一些判斷。這樣一來(lái)，學(xué)生既體會(huì)了隨機(jī)，又感受到了數(shù)據(jù)中蘊(yùn)含著信息，我想這種類似于“猜謎”的活動(dòng)學(xué)生也會(huì)很有興趣。
問(wèn)：實(shí)際上，并不是簡(jiǎn)單地贊成或反對(duì)做實(shí)驗(yàn)，而是做實(shí)驗(yàn)的目的。不是通過(guò)實(shí)驗(yàn)去驗(yàn)證概率是多少，而是通過(guò)實(shí)驗(yàn)從數(shù)據(jù)中獲取信息，對(duì)總體做一些推斷。說(shuō)到做推斷，老師們還有一個(gè)困惑，因?yàn)閿?shù)據(jù)是隨機(jī)的，用部分的數(shù)據(jù)進(jìn)行估計(jì)有時(shí)可能會(huì)估計(jì)得準(zhǔn)一些，有時(shí)會(huì)偏差很大。那么這種推斷是不是有點(diǎn)“瞎猜”的味道，能不能保證這種估計(jì)是合理的。
▲史教授：這里絕不是“瞎猜”。還是上面摸球的例子(袋子里有5個(gè)球，4個(gè)白球，1個(gè)紅球)，我們知道如果真是隨機(jī)摸球的話，那么出現(xiàn)白球的概率是五分之四。而實(shí)驗(yàn)中，要使摸球的頻率剛好是 五分之四(十分之八)的可能性并不大。但是如果取一個(gè)范圍，比如在十分之七和十分之九之間，此時(shí)頻率落在這個(gè)范圍內(nèi)，用它去進(jìn)行估計(jì)是可以接受的。如果要使摸出白球的頻率落在這個(gè)范圍之間的可能性達(dá)到80%的話，通過(guò)計(jì)算只要做27次左右的實(shí)驗(yàn);如果要使95%的可能性落在這個(gè)范圍內(nèi)的話，摸球的次數(shù)要增加，大概是60次左右。所以，實(shí)際上有相當(dāng)多的科學(xué)依據(jù)在后邊支撐著我們做類似摸球的試驗(yàn)。也就是雖然不能保證估計(jì)得完全一致，但能保證在一定實(shí)驗(yàn)次數(shù)下，估計(jì)值與實(shí)際情況相差不大的可能性是很大的。
問(wèn)：聽了您的解釋挺有啟發(fā)的。是不是雖然不能達(dá)到100%的精確，但無(wú)論實(shí)際情況需要多高的精確度，都可以計(jì)算出需要做多少次實(shí)驗(yàn)來(lái)保證達(dá)到這個(gè)精確度?
▲史教授：是這樣的。因此，我們可以提供一些數(shù)據(jù)，如果想達(dá)到95%的可能性，你至少要摸多少次球。再比如社會(huì)上通過(guò)打電話做民意調(diào)查，不可能給所有擁有電話的人都打，如果調(diào)查允許在一定的誤差范圍內(nèi)，通過(guò)計(jì)算可以提供至少需要打電話的數(shù)量。當(dāng)然計(jì)算中需要概率的知識(shí)，從這些例子中我們也能看到統(tǒng)計(jì)與概率的聯(lián)系。
問(wèn)：通過(guò)上面的兩種教法和您的分析，我們可以感覺(jué)到概率是定義出來(lái)的，它的推理方式是主要是演繹;而統(tǒng)計(jì)是用數(shù)據(jù)來(lái)進(jìn)行推斷，它的推理方式主要是歸納。兩種思維方式是不一樣的。
▲史教授：是這樣的。統(tǒng)計(jì)體現(xiàn)了與傳統(tǒng)數(shù)學(xué)不一樣的思路，而這種思路是培養(yǎng)學(xué)生歸納能力的最好方法之一。在義務(wù)教育階段，也有一些素材可以讓學(xué)生經(jīng)歷歸納的過(guò)程，比如歸納一些公式和規(guī)律，但這些公式和規(guī)律往往都是準(zhǔn)備好了的。很難找到讓學(xué)生真正通過(guò)歸納自己得到結(jié)論的素材，但是通過(guò)統(tǒng)計(jì)可以讓學(xué)生做一些，所以說(shuō)，運(yùn)用
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