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初中數(shù)學(xué)教材中的化歸思想剖析
“問題是數(shù)學(xué)的心臟”，數(shù)學(xué)問題的解決是數(shù)學(xué)教學(xué)中的一個(gè)重要組成部分，而幾乎所有問題的解決都離不開化歸，只是所體現(xiàn)的形式有所不同。計(jì)算題是利用規(guī)定的運(yùn)算法則進(jìn)行化歸，證明題是利用公理、定理或已經(jīng)證明了的命題進(jìn)行化歸，應(yīng)用題利用數(shù)學(xué)模型化歸，……因此，可以說，離開了化歸，數(shù)學(xué)問題將無法解決，化歸是解決數(shù)學(xué)問題的最基本的手段之一。而通過一定的轉(zhuǎn)化過程，把待解決的問題轉(zhuǎn)化為已經(jīng)解決或比較容易解決的問題或這類問題的某種組合，這種思想被稱之為“化歸思想”。
在整個(gè)初中數(shù)學(xué)教材中無處不滲透著化歸思想，我們時(shí)常需要把高次的化為低次的，把多元的化為單元的，把高維的化為低維的，把指數(shù)運(yùn)算化為乘法運(yùn)算，把幾何問題化為代數(shù)問題，化無理為有理等，可以說在初中的數(shù)學(xué)教材中，每一冊(cè)都有較多問題的解決需要用化歸的思想方法來完成，而在歷年的中考題中許多壓軸題的解決也需要用化歸的思想方法來完成，所以這種數(shù)學(xué)思想是初中數(shù)學(xué)中解決問題的一種非常重要的數(shù)學(xué)思想。
化歸思想的實(shí)質(zhì)就是將一個(gè)新問題進(jìn)行變形，使其轉(zhuǎn)化為另一個(gè)已經(jīng)解決的問題，從而使原來的問題得到解決。其一般模式是把所要解決的問題A經(jīng)過某種變化，使之歸結(jié)為另一個(gè)問題A*，再通過問題A*的求解，把解得的結(jié)果還原于原有問題A，從而使原有問題得解。
化歸思想包含三個(gè)要素：化歸的對(duì)象、化歸的方向和化歸的方式方法。要正確運(yùn)用化歸思想，就要分清化歸的對(duì)象，明確要化歸的方向，考慮實(shí)施化歸的方法。本文主要從化歸的方向?qū)Τ踔薪滩闹械幕瘹w思想進(jìn)行舉例分析。
從化歸的方向上來看，化歸的方向大致可以分為下面兩種：
一、新知識(shí)向已知知識(shí)點(diǎn)或知識(shí)塊的轉(zhuǎn)化
在初中數(shù)學(xué)教材中，有許多新知識(shí)的獲得或新問題的解決都是通過轉(zhuǎn)化為已知知識(shí)或已解決的問題來完成的，也就是將新知識(shí)向已知知識(shí)點(diǎn)或知識(shí)塊轉(zhuǎn)化，從而使問題得到解決。下面就以解方程為例來分析這種化歸的方向。
1、消元降次化歸，實(shí)現(xiàn)新知識(shí)向已知知識(shí)點(diǎn)的轉(zhuǎn)化
(1)降次化歸解一元方程
解一元二次方程時(shí)有以下四種基本解法：
a、如果方程的一邊是關(guān)于X的完全平方式，另一邊是個(gè)非負(fù)的常數(shù)，則根據(jù)平方根的意義將形如方程轉(zhuǎn)化為兩個(gè)一次方程進(jìn)而得解，此為開平方。
b、如果將方程通過配方恒等變形，一邊化為含未知數(shù)的完全平方式，另一邊為非負(fù)的常數(shù)，則其后的求解可由思路一完成，此為配方法。
c、如果方程一邊為零，一邊能分解成兩個(gè)一次因式之積，就可以得到兩個(gè)因式分別為零的一次方程，它們的解都是原方程的解，此為因式分解法。
d、如果以上三條思路受阻，便可把方程整理為一般形式，直接利用公式求解。
縱觀以上四種方法，不難發(fā)現(xiàn)，方法一即所謂開平方法，它是依據(jù)平方根的意義將二次方程轉(zhuǎn)化為一次方程，完成了由“二次”向“一次”的轉(zhuǎn)化。方法二中的“配方”僅完成了方程的恒等變形，把問題轉(zhuǎn)移到“可開方”上來，并未完成“降次轉(zhuǎn)化”這一實(shí)質(zhì)性工作，但已經(jīng)為“二次”向“一次”轉(zhuǎn)化創(chuàng)造了條件，因而習(xí)慣上稱之為“配方法”，配方法的實(shí)質(zhì)就是通過轉(zhuǎn)化為開平方來解決的。方法三即因式分解法，其理論依據(jù)是“若干個(gè)因式之積為零時(shí)，則其中至少有一個(gè)因式為零”，據(jù)此，也順利地實(shí)現(xiàn)了由“二次”轉(zhuǎn)化為“一次”的目的。方法四即所謂公式法，對(duì)一般的一元二次方程,通過配方,轉(zhuǎn)化為開平方求得一般結(jié)論,即求根公式。公式法以強(qiáng)調(diào)結(jié)論，應(yīng)用結(jié)果為前提，而省略了公式的探究過程，實(shí)際上已將解方程轉(zhuǎn)化成為代數(shù)式的求值問題，而公式的得到則是化歸思想的典型體現(xiàn)。
從以上分析不難看到：將“一元二次”這個(gè)新知識(shí)點(diǎn)轉(zhuǎn)化為“一元一次”這個(gè)已知知識(shí)點(diǎn)之際，也就是順利求解一元二次方程之時(shí)。因此，應(yīng)用化歸思想降次轉(zhuǎn)化為一元一次方程，是解一元二次方程各方法之“宗”。
而對(duì)于高次方程，初中教材中的都是簡單的一元高次方程，這類方程根據(jù)具體方程的特殊性可以通過一些常規(guī)的數(shù)學(xué)方法把它們轉(zhuǎn)化為一元一次方程或一元二次方程，即完成從新知識(shí)點(diǎn)到已知知識(shí)點(diǎn)的降次化歸過程，從而使此類方程問題得到解決。
(2)消元降次化歸解方程組
解二元一次方程組，其基本方法是通過加減消元或是代入消元轉(zhuǎn)化為一元一次方程，即完成從新知識(shí)點(diǎn)到已知知識(shí)點(diǎn)的轉(zhuǎn)化，從而得到求解。三元一次方程組，也通過消元，轉(zhuǎn)化為二元一次方程組，再進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為一元一次方程，從而使問題得解。而對(duì)于二元二次方程組，如果要解的二元二次方程組是由一個(gè)二元一次方程和一個(gè)二元二次方程構(gòu)成的，那么直接先消元轉(zhuǎn)化為一個(gè)一元二方程就可以求解了。如果要解的二元二次方程組是由兩個(gè)二元二次方程組成的，則既要消元，又要降次，需轉(zhuǎn)化為兩個(gè)分別含有一個(gè)二元一次方程的二元二次方程組或四個(gè)二元一次方程組，即完成由新知識(shí)向已知知識(shí)的轉(zhuǎn)化，從而使二元二次方程組得到求解。
2、分式方程整式化、無理方程有理化,實(shí)現(xiàn)新知識(shí)向已知知識(shí)塊的轉(zhuǎn)化
初中新教材中的分式方程按去分母后的形式分為可化為一元一次方程的分式方式和可化為一元二次方程的分式方程，前者安排在七年級(jí)上，后者安排在八年級(jí)下。從此可以看出把分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程這一已知的知識(shí)模塊是解分式方程的基本思路。初中教材中的無理方程基本上都可以通過對(duì)方程兩邊進(jìn)行平方或是換元把它轉(zhuǎn)化為整式方程中的一元一次方程或是一元二次方程，從而使無理方程轉(zhuǎn)化為有理方程這一已知的模塊，從而得到求解。這里需要注意的是在分式方程整式化、無理方程有理化的變形過程中,有可能不是恒等變形，可能產(chǎn)生增根，所以分式方程和無理方程都必須要驗(yàn)根。
縱觀整個(gè)初中教材，不難發(fā)現(xiàn)除了解方程問題，還有許多知識(shí)的轉(zhuǎn)化都屬于新知識(shí)向已知知識(shí)點(diǎn)或知識(shí)塊的轉(zhuǎn)化，如:異分母分?jǐn)?shù)的加減法，通過通分轉(zhuǎn)化成同分母分?jǐn)?shù)的加減法;多邊形的內(nèi)角和問題轉(zhuǎn)化為三角形的內(nèi)角和來解決、梯形的中位線問題轉(zhuǎn)化為三角形的中位線來解決等，可以說初中教材中運(yùn)用化歸思想來解決的問題其化歸的方向大部分都屬于這種類型。
二、一般情況向特殊情況的轉(zhuǎn)化
在解決數(shù)學(xué)問題中除了上述的化歸方向外，還有一類化歸方向是：先解決特殊條件或特殊情況下的問題，然后通過恰當(dāng)?shù)幕瘹w方法把一般情況下的問題轉(zhuǎn)化為特殊情況下的問題來解決，這也是解決新問題獲得新知識(shí)的一種重要的化歸方向。
一般解題時(shí)先解決特殊條件或特殊情況下的問題，然后通過恰當(dāng)?shù)幕瘹w方法把一般情況下的問題轉(zhuǎn)化為特殊情況下的問題來解決，這也是順利解決某些問題的一種重要的化歸方向，特別是在中考題的最后一題中，往往也有許多時(shí)候是需要先解決特殊條件下的問題，然后再通過化歸把一般情況下的問題轉(zhuǎn)化為特殊條件下的情形來解決，所以這種化歸方向在獲得新知識(shí)解決新問題的過程中也發(fā)揮著非常重要的作用。
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