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約數(shù)是什么-科學(xué)知識

時(shí)間：2022-06-23 13:58:27 求職我要投稿

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約數(shù)，是我們在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過程中，會遇到的東西，那么約數(shù)究竟是什么呢?以下是PINCAI小編整理的關(guān)于約數(shù)的相關(guān)內(nèi)容，歡迎閱讀和參考!

約數(shù)是什么-科學(xué)知識

約數(shù)是什么_數(shù)學(xué)知識

約數(shù)，又稱因數(shù)。整數(shù)a除以整數(shù)b(b≠0) 除得的商正好是整數(shù)而沒有余數(shù)，我們就說a能被b整除，或b能整除a。a稱為b的倍數(shù)，b稱為a的約數(shù)。在大學(xué)之前，"約數(shù)"一詞所指的一般只限于正約數(shù)。約數(shù)和倍數(shù)都是二元關(guān)系的概念，不能孤立地說某個(gè)整數(shù)是約數(shù)或倍數(shù)。一個(gè)整數(shù)的約數(shù)是有限的。同時(shí)，它可以在特定情況下成為公約數(shù)。

拓展閱讀：約數(shù)的求法

枚舉法

枚舉法：將兩個(gè)數(shù)的因數(shù)分別一一列出，從中找出其公因數(shù)，再從公因數(shù)中找出最大的一個(gè)，即為這兩個(gè)數(shù)的最大公因數(shù)。

例：求30與24的最大公因數(shù)。

30的正因數(shù)有：1,2,3,5,6,10,15,30。

24的正因數(shù)有：1,2,3,4,6,8,12,24。

易得其公因數(shù)中最大的一個(gè)是6，所以30和24的最大公因數(shù)是6。

短除法

短除符號就像一個(gè)倒過來的除號，短除法就是先寫出要求最大公因數(shù)的兩個(gè)數(shù)A、B，再畫一個(gè)短除號，接著在原本寫除數(shù)的位置寫兩個(gè)數(shù)公有的質(zhì)因數(shù)Z(通常從最小的質(zhì)數(shù)開始)，然后在短除號的下方寫出這兩個(gè)數(shù)被Z整除的`商a，b，對a，b重復(fù)以上步驟，以此類推，直到最后的商互質(zhì)為止，再把所有的除數(shù)相乘，其積即為A，B的最大公因數(shù)。

求12和18的最大公約數(shù)

求12和18的最大公約數(shù)(3張)

(短除法同樣適用于求最小公倍數(shù)，只需將其所有除數(shù)與最后所得的商相乘即可)

例：求12和18的最大公約數(shù)。

解：用短除法，由左圖，易得12和18的最大公約數(shù)為2×3=6。

例：求144的所有約數(shù)。

解：所有約數(shù)(72,2)(36,4)(18,8)(9,16)(3,48)

分解質(zhì)因數(shù)

將需要求最大公因數(shù)的兩個(gè)數(shù)A，B分別分解質(zhì)因數(shù)，再從中找出A、B公有的質(zhì)因數(shù)，把這些公有的質(zhì)因數(shù)相乘，即得A、B的最大公約數(shù)。

例：求48和36的最大公因數(shù)。

把48和36分別分解質(zhì)因數(shù)：

48=2×2×2×2×3

36=2×2×3×3

其中48和36公有的質(zhì)因數(shù)有2、2、3，所以48和36的最大公因數(shù)是 2×2×3=12。

輾轉(zhuǎn)相除法

(歐幾里得算法)對要求最大公因數(shù)的兩個(gè)數(shù)a、b，設(shè)b

這一算法的證明如下：

設(shè)兩數(shù)為a、b(b

令c=gcd(a,b)，則設(shè)a=mc，b=nc，根據(jù)前提有r =a-kb=mc-knc=(m-kn)c

由上，可知c也是r的因數(shù)，故可以斷定m-kn與n互素【否則，可設(shè)m-kn=xd，n=yd，(d>1)，則m=kn+xd=kyd+xd=(ky+x)d，則a=mc=(ky+x)dc，b=nc=ycd，故a與b最大公因數(shù)成為cd，而非c】

所以 gcd(b,r)=c，繼而gcd(a,b)=gcd(b,r)。

例：求8251和6105的最大公因數(shù)。

考慮用較大數(shù)除以較小數(shù)，求得商和余數(shù)：

8251=6105×1+2146

6105=2146×2+1813

2146=1813×1+333

1813=333×5+148

333=148×2+37

148=37×4

最后除數(shù)37是148和37的最大公因數(shù)，也就是8251與6105的最大公因數(shù)。

約數(shù)也叫做因數(shù)，是因數(shù)的另一個(gè)稱呼。

更相減損術(shù)

更相減損術(shù)出自《九章算術(shù)》的一種求最大公約數(shù)的算法，它原本是為約分而設(shè)計(jì)的，但它適用于任何需要求最大公約數(shù)的場合。其原文為：“可半者半之，不可半者，副置分母、子之?dāng)?shù)，以少減多，更相減損，求其等也。以等數(shù)約之�！�

翻譯成現(xiàn)代語言就是

第一步：任意給定兩個(gè)正整數(shù)a、b;判斷它們是否都是偶數(shù)。若是，則用2約簡;若不是則執(zhí)行第二步。

第二步：以較大的數(shù)減較小的數(shù)，接著把所得的差與較小的數(shù)比較，并以大數(shù)減小數(shù)。繼續(xù)這個(gè)操作，直到所得的減數(shù)和差相等為止。這個(gè)數(shù)就是a、b的最大公約數(shù)。

例：求98與63的最大公因數(shù)。

分析：由于63不是偶數(shù)，把98和63以大數(shù)減小數(shù)，并輾轉(zhuǎn)相減：

98-63=35

63-35=28

35-28=7

28-7=21

21-7=14

14-7=7

所以，98和63的最大公約數(shù)為7。