概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)書籍介紹

　　《概率統(tǒng)計(jì)》是高等院校理工類、經(jīng)管類的重要課程之一。在考研數(shù)學(xué)中的比重大約占22%左右。主要內(nèi)容包括：概率論的基本概念、隨機(jī)變量及其概率分布、數(shù)字特征、大數(shù)定律與中心極限定理、統(tǒng)計(jì)量及其概率分布、參數(shù)估計(jì)和假設(shè)檢驗(yàn)、回歸分析、方差分析、馬爾科夫鏈等內(nèi)容。

　　概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)是數(shù)學(xué)的一個(gè)有特色且又十分活躍的分支，一方面，它有別開生面的研究課題，有自己獨(dú)特的概念和方法，內(nèi)容豐富，結(jié)果深刻;另一方面，它與其他學(xué)科又有緊密的聯(lián)系，是近代數(shù)學(xué)的重要組成部分。由于它近年來突飛猛進(jìn)的發(fā)展與應(yīng)用的廣泛性，目前已發(fā)展成為一門獨(dú)立的一級(jí)學(xué)科。概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)的理論與方法已廣泛應(yīng)用于工業(yè)、農(nóng)業(yè)、軍事和科學(xué)技術(shù)中，如預(yù)測(cè)和濾波應(yīng)用于空間技術(shù)和自動(dòng)控制，時(shí)間序列分析應(yīng)用于石油勘測(cè)和經(jīng)濟(jì)管理，馬爾科夫過程與點(diǎn)過程統(tǒng)計(jì)分析應(yīng)用于等，同時(shí)他又向基礎(chǔ)學(xué)科、工科學(xué)科滲透，與其他學(xué)科相結(jié)合發(fā)展成為邊緣學(xué)科，這是概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)發(fā)展的一個(gè)新趨勢(shì)。 （孔繁亮）

　　專業(yè)概況

　　概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)是20世紀(jì)迅速發(fā)展的學(xué)科，主要研究各種隨機(jī)現(xiàn)象的本質(zhì)與內(nèi)在規(guī)律，以及自然、社會(huì)等學(xué)科中不同類型數(shù)據(jù)的科學(xué)的綜處理和統(tǒng) 計(jì)推斷方法。隨著人類社會(huì)各個(gè)體系的日益龐大、復(fù)雜、精密以及計(jì)算機(jī)的廣泛使用，概率統(tǒng)計(jì)在信息時(shí)代的重要性也越來越大。本專業(yè)的重點(diǎn)在于為學(xué)生打下堅(jiān)實(shí) 的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，培養(yǎng)科研創(chuàng)新能力，了解并掌握豐富的現(xiàn)代統(tǒng)計(jì)方法。

　　專業(yè)背景

　　要求考生具備基礎(chǔ)數(shù)學(xué)、概率論、數(shù)理統(tǒng)計(jì)分析、時(shí)間序列分析、隨機(jī)分析、信息技術(shù)、計(jì)算機(jī)等相關(guān)學(xué)科知識(shí)。

　　研究方向

　　概率論與隨機(jī)過程、數(shù)理統(tǒng)計(jì)、時(shí)間序列分析及其應(yīng)用、保險(xiǎn)精算、金融工程、非參數(shù)統(tǒng)計(jì)、隨機(jī)分析與隨機(jī)微分方程、隨機(jī)動(dòng)力系統(tǒng),數(shù)學(xué)物理

　　就業(yè)前景

　　碩士畢業(yè)后，學(xué)生可報(bào)考基礎(chǔ)數(shù)學(xué)學(xué)科的各專業(yè)、計(jì)算機(jī)科學(xué)、概率統(tǒng)計(jì)、金融學(xué)等與數(shù)學(xué)相關(guān)的或交叉的、高新技術(shù)學(xué)科的博士研究生;也可選擇出國(guó)到知名大學(xué)繼續(xù)深造，如哈佛大學(xué)、麻省理工大學(xué)等;當(dāng)然，你還可到企業(yè)從事數(shù)學(xué)應(yīng)用開發(fā)工作，事實(shí)上相當(dāng)數(shù)量的畢業(yè)生都會(huì)選擇在企業(yè)、事業(yè)單位從事統(tǒng)計(jì)調(diào)查、統(tǒng)計(jì)信息管理、數(shù)量分析的工作，隨著計(jì)算機(jī)軟件應(yīng)用的日益加強(qiáng)，統(tǒng)計(jì)學(xué)，尤其是SPSS軟件分析的前景看好，統(tǒng)計(jì)人才更是成為了用人單位爭(zhēng)相“搶購”的“香餑餑”。

　　題型總結(jié)

　　目前，大部分同學(xué)開始了概率論和數(shù)理統(tǒng)計(jì)的復(fù)習(xí)，本文主要想對(duì)同學(xué)們近期的復(fù)習(xí)做一個(gè)簡(jiǎn)單的指導(dǎo)。概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)初步主要考查考生對(duì)研究隨機(jī)現(xiàn)象規(guī)律性的基本概念、基本理論和基本方法的理解，以及運(yùn)用概率統(tǒng)計(jì)方法分析和解決實(shí)際問題的能力。常有的題型有：填空題、選擇題、計(jì)算題和證明題，試題的主要類型有：

　　(1)確定事件間的關(guān)系，進(jìn)行事件的運(yùn)算；

　　(2)利用事件的關(guān)系進(jìn)行概率計(jì)算；

　　(3)利用概率的性質(zhì)證明概率等式或計(jì)算概率；

　　(4)有關(guān)古典概型、幾何概型的概率計(jì)算；

　　(5)利用加法公式、條件概率公式、乘法公式、全概率公式和貝葉斯公式計(jì)算概率；

　　(6)有關(guān)事件獨(dú)立性的證明和計(jì)算概率；

　　(7)有關(guān)獨(dú)重復(fù)試驗(yàn)及伯努利概率型的計(jì)算；

　　(8)利用隨機(jī)變量的分布函數(shù)、概率分布和概率密度的定義、性質(zhì)確定其中的未知常數(shù)或計(jì)算概率；

　　(9)由給定的試驗(yàn)求隨機(jī)變量的分布；

　　(10)利用常見的概率分布(例如(0-1)分布、二項(xiàng)分布、泊松分布、幾何分布、均勻分布、指數(shù)分布、正態(tài)分布等計(jì)算概率；

　　(11)求隨機(jī)變量函數(shù)的分布(12)確定二維隨機(jī)變量的分布；

　　(13)利用二維均勻分布和正態(tài)分布計(jì)算概率；

　　(14)求二維隨機(jī)變量的邊緣分布、條件分布；

　　(15)判斷隨機(jī)變量的獨(dú)立性和計(jì)算概率；

　　(16)求兩個(gè)獨(dú)立隨機(jī)變量函數(shù)的分布；

　　(17)利用隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望、方差的定義、性質(zhì)、公式，或利用常見隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望、方差求隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望、方差；

　　(18)求隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望；

　　(19)求兩個(gè)隨機(jī)變量的協(xié)方差、相關(guān)系數(shù)并判斷相關(guān)性；

　　(20)求隨機(jī)變量的矩和協(xié)方差矩陣；

　　(21)利用切比雪夫不等式推證概率不等式；

　　(22)利用中心極限定理進(jìn)行概率的近似計(jì)算；

　　(23)利用t分布、χ2分布、F分布的定義、性質(zhì)推證統(tǒng)計(jì)量的分布、性質(zhì)；

　　(24)推證某些統(tǒng)計(jì)量(特別是正態(tài)總體統(tǒng)計(jì)量)的分布；

　　(25)計(jì)算統(tǒng)計(jì)量的概率；

　　(26)求總體分布中未知參數(shù)的矩估計(jì)量和極大似然估計(jì)量；

　　(27)判斷估計(jì)量的無偏性、有效性和一致性；

　　(28)求單個(gè)或兩個(gè)正態(tài)總體參數(shù)的置信區(qū)間；

　　(29)對(duì)單個(gè)或兩個(gè)正態(tài)總體參數(shù)假設(shè)進(jìn)行顯著性檢驗(yàn)；

　　(30)利用χ2檢驗(yàn)法對(duì)總體分布假設(shè)進(jìn)行檢驗(yàn)。

　　這一部分主要考查概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)的基本概念、基本性質(zhì)和基本理論，考查基本方法的應(yīng)用。對(duì)歷年的考題進(jìn)行分析，可以看出概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)的試題，即使是填空題和選擇題，只考單一知識(shí)點(diǎn)的試題很少，大多數(shù)試題是考查考生的理解能力和綜合應(yīng)用能力。要求考生能靈活地運(yùn)用所學(xué)的知識(shí)，建立起正確的概率模型，綜合運(yùn)用極限、連續(xù)函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、極值、積分、廣義積分以及級(jí)數(shù)等知識(shí)去解決問題。

　　在解答這部分考題時(shí)，考生易犯的錯(cuò)誤有：

　　(1)概念不清，弄不清事件之間的關(guān)系和事件的結(jié)構(gòu)；

　　(2)對(duì)試驗(yàn)分析錯(cuò)誤，概率模型搞錯(cuò)；

　　(3)計(jì)算概率的公式運(yùn)用不當(dāng)；

　　(4)不能熟練地運(yùn)用獨(dú)立性去證明和計(jì)算；

　　(5)不能熟練掌握和運(yùn)用常用的概率分布及其數(shù)字特征；

　　(6)不能正確應(yīng)用有關(guān)的定義、公式和性質(zhì)進(jìn)行綜合分析、運(yùn)算和證明。

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　　專業(yè)輪廓

　　在自然界和人類的日常生活中，隨機(jī)現(xiàn)象非常普遍，比如每期福利的中獎(jiǎng)號(hào)碼。概率論是根據(jù)大量同類隨機(jī)現(xiàn)象的統(tǒng)計(jì)規(guī)律，對(duì)隨機(jī)現(xiàn)象出現(xiàn)某一結(jié)果的可能性作出一種客觀的科學(xué)判斷，對(duì)這種出現(xiàn)的可能性作出一種客觀的科學(xué)判斷，并作出數(shù)量上的描述；比較這些可能性的大小。數(shù)理統(tǒng)計(jì)是應(yīng)用概率的理論研究大量隨機(jī)現(xiàn)象的規(guī)律性，對(duì)通過科學(xué)安排的一定數(shù)量的實(shí)驗(yàn)所得到的統(tǒng)計(jì)方法給出嚴(yán)格的理論證明，并判定各種方法應(yīng)用的條件以及方法、公式、結(jié)論的可靠程度和局限性，使人們能從一組樣本判定是否能以相當(dāng)大的概率來保證某一判斷是正確的，并可以控制發(fā)生錯(cuò)誤的概率。

　　[關(guān)鍵詞] 研究熱點(diǎn)

　　羅燕（2007級(jí)概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)碩士研究生）：現(xiàn)在應(yīng)用統(tǒng)計(jì)方向的研究越來越熱了，應(yīng)用統(tǒng)計(jì)更貼近生活，所以越來越被各行各業(yè)注重。但是我們不要忘了統(tǒng)計(jì)的基礎(chǔ)是概率。概率方面的研究仍然值得重視。

　　宋高陽（2007級(jí)概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)碩士研究生）：統(tǒng)計(jì)學(xué)主要方向有隨機(jī)理論、數(shù)據(jù)分析、金融統(tǒng)計(jì)等，就現(xiàn)在的情況來看，數(shù)據(jù)分析和數(shù)據(jù)挖掘會(huì)比較熱門，因?yàn)閼?yīng)用的范圍更廣一些。如果研究生畢業(yè)之后選擇工作，應(yīng)用性較強(qiáng)的學(xué)科是最好的選擇。

　　[關(guān)鍵詞] 建議

　　宋高陽（2007級(jí)概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)碩士研究生）：國(guó)內(nèi)許多高校將統(tǒng)計(jì)學(xué)和金融學(xué)劃歸為一類，成立金融與統(tǒng)計(jì)學(xué)院或者直接統(tǒng)計(jì)學(xué)劃歸為經(jīng)濟(jì)系。這非常好理解，因?yàn)榻?jīng)濟(jì)學(xué)和金融學(xué)都是以統(tǒng)計(jì)為基本方法的。但作為數(shù)學(xué)二級(jí)學(xué)科的統(tǒng)計(jì)學(xué)的范疇卻和金融統(tǒng)計(jì)相去甚遠(yuǎn)，學(xué)術(shù)成分也更高一些。統(tǒng)計(jì)學(xué)以概率論為基礎(chǔ)，理論性更強(qiáng)，對(duì)隨機(jī)過程、概率極限、回歸分析等基礎(chǔ)知識(shí)的要求也更高。其實(shí)，統(tǒng)計(jì)學(xué)也不僅僅只是在金融學(xué)方面才有用武之地，回到開篇提到的“生物統(tǒng)計(jì)學(xué)”，就是當(dāng)仁不讓的熱門“頭牌”，這就要考生在報(bào)考時(shí)注意自己選擇的到底是經(jīng)濟(jì)學(xué)院的統(tǒng)計(jì)學(xué)，還是數(shù)學(xué)系的統(tǒng)計(jì)學(xué)。

　　跨考院校推薦

　　北京師范大學(xué)的概率論研究群體歷經(jīng)三代人，已有40年的傳統(tǒng)和積累，擁有陳木法、李增滬、張余輝、王鳳雨等著名的專家學(xué)者。這一研究群體被國(guó)際上的兩個(gè)主要數(shù)學(xué)評(píng)論雜志譽(yù)為“馬氏過程的中國(guó)學(xué)派”或“北京學(xué)派”。主要研究方向有交互作用粒子系統(tǒng)、隨機(jī)分析、測(cè)度值馬氏過程等。概率論和數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)科實(shí)力較強(qiáng)的院校還有南開大學(xué)、中南大學(xué)、東北師范大學(xué)、武漢大學(xué)、華中科技大學(xué)、中國(guó)科學(xué)技術(shù)大學(xué)等。

　　數(shù)學(xué)這棵大樹歷經(jīng)多年的發(fā)展已經(jīng)枝繁葉茂。一般重點(diǎn)大學(xué)的數(shù)學(xué)系都會(huì)有數(shù)十位甚至上百位教授或講師，每位的研究方向都不一樣，它們彼此的差異就好比達(dá)芬奇的雞蛋，再加上與各種學(xué)科的交叉和發(fā)展，又產(chǎn)生了更多的新分支方向。也正因?yàn)檫@樣，數(shù)學(xué)這門學(xué)科才會(huì)如此豐富多姿。

　　怎樣學(xué)“概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)”

　　“概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)”是理工科大學(xué)生的一門必修課程，也是報(bào)考碩士研究生時(shí)數(shù)學(xué)試卷中重要內(nèi)容之一[其中數(shù)學(xué)一占20%?，數(shù)學(xué)三占25%?，數(shù)學(xué)四占25%?(概率論)].由于該學(xué)科與生活實(shí)踐和科學(xué)試驗(yàn)有著緊密的聯(lián)系，是許多新發(fā)展的前沿學(xué)科(如控制論、信息論、可靠性理論、人工智能等)的基礎(chǔ)，因此學(xué)好這一學(xué)科是十分重要的.?

　　首先我們從歷屆考研成績(jī)進(jìn)行分析，觀察一下高等數(shù)學(xué)與概率統(tǒng)計(jì)之間有什么差異其一是概率統(tǒng)計(jì)的平均得分率往往低于高等數(shù)學(xué)平均得分率.其二高等數(shù)學(xué)的得分分布呈兩頭小中間大現(xiàn)象，即低分和高分比例小，而中間分?jǐn)?shù)段比例大，而概率統(tǒng)計(jì)的得分率卻是低分多， 中間分?jǐn)?shù)少，高分較多的現(xiàn)象.為什么會(huì)發(fā)生上述差異?經(jīng)分析發(fā)現(xiàn)雖然高等數(shù)學(xué)與概率統(tǒng)計(jì)同屬數(shù)學(xué)學(xué)科，但各有自己的特點(diǎn). 高等數(shù)學(xué)主要是通過學(xué)習(xí)極限、導(dǎo)數(shù)和積分等知識(shí)解決有關(guān)(一維或多維)函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)和圖象的問題, 它與中學(xué)的數(shù)學(xué)有著密切聯(lián)系而且有著相同的思想方法和解題思路.因而在概念上理解比較容易接受(當(dāng)然也有比較抽象的內(nèi)容如中值定理等).另一方面由于涉及許多具體初等函數(shù)，在求導(dǎo)數(shù)和積分時(shí)有許多計(jì)算上的技巧，需要大量練習(xí)以熟練掌握這些技巧，因而部分學(xué)生即使概念不十分清楚，但仍能正確解答相當(dāng)多的試題，在考研中得到一定的成績(jī).?

　　而在“概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)”的學(xué)習(xí)中更注重的是概念的理解，而這正是廣大學(xué)生所疏忽的，在考研復(fù)習(xí)時(shí)幾乎有近一半以上學(xué)生對(duì)“什么是隨機(jī)變量”、“為什么要引進(jìn)隨機(jī)變量”仍說不清楚.對(duì)于涉及隨機(jī)變量的獨(dú)立，不相關(guān)等概念更是無從著手，這一方面是因?yàn)楦叩葦?shù)學(xué)處理的是“確定”的事件.如函數(shù)y=f(x)，當(dāng)x確定后y有確定的值與之對(duì)應(yīng).而概率論中隨機(jī)變量X在抽樣前是不確定的，我們只能由隨機(jī)試驗(yàn)確定它落在某一區(qū)域中的概率，要建立用“不確定性”的思維方法往往比較困難，如果套用確定性的思維方法就會(huì)出錯(cuò).由于基本概念沒有搞懂，即使是十分簡(jiǎn)單的題目也難以得分.從而造成低分多的現(xiàn)象.另一方面由于概率論中涉及的計(jì)算技巧不多，除了古典概型，幾何概型和計(jì)算二維隨機(jī)變量的函數(shù)分布時(shí)如何確定積分上、下限有一些計(jì)算的難點(diǎn)，其他的只是數(shù)值或者積分、導(dǎo)數(shù)的計(jì)算.因而如果概念清楚，那么解題往往很順利且易得到正確答案，這正是高分較多的原因.?

　　根據(jù)上面分析，啟示我們不能把高等數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)方法照搬到“概率統(tǒng)計(jì)”的學(xué)習(xí)上來，而應(yīng)按照概率統(tǒng)計(jì)自身的特點(diǎn)提出學(xué)習(xí)方法，才能取得“事半功倍”的效果.下面我們分別對(duì)“概率論”和“數(shù)理統(tǒng)計(jì)”的學(xué)習(xí)方法提出一些建議.?

　　一、 學(xué)習(xí)“概率論”要注意以下幾個(gè)要點(diǎn)

　　1. 在學(xué)習(xí)“概率論”的過程中要抓住對(duì)概念的引入和背景的理解，例如為什么要引進(jìn)“隨機(jī)變量”這一概念。這實(shí)際上是一個(gè)抽象過程。正如小學(xué)生最初學(xué)數(shù)學(xué)時(shí)總是一個(gè)蘋果加2個(gè)蘋果等于3個(gè)蘋果，然后抽象為1+2=3.對(duì)于具體的隨機(jī)試驗(yàn)中的具體隨機(jī)事件，可以計(jì)算其概率，但這畢竟是局部的，孤立的，能否將不同隨機(jī)試驗(yàn)的不同樣本空間予以統(tǒng)一，并對(duì)整個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)進(jìn)行刻畫?隨機(jī)變量X(即從樣本空間到實(shí)軸的單值實(shí)函數(shù))的引進(jìn)使原先不同隨機(jī)試驗(yàn)的隨機(jī)事件的概率都可轉(zhuǎn)化為隨機(jī)變量落在某一實(shí)數(shù)集合B的概率，不同的隨機(jī)試驗(yàn)可由不同的隨機(jī)變量來刻畫. 此外若對(duì)一切實(shí)數(shù)集合B，知道P(X∈B). 那么隨機(jī)試驗(yàn)的任一隨機(jī)事件的概率也就完全確定了.所以我們只須求出隨機(jī)變量X的分布P(X∈B). 就對(duì)隨機(jī)試驗(yàn)進(jìn)行了全面的刻畫.它的研究成了概率論的研究中心課題.故而隨機(jī)變量的引入是概率論發(fā)展歷史中的一個(gè)重要里程碑.類似地，概率公理化定義的引進(jìn)，分布函數(shù)、離散型和連續(xù)型隨機(jī)變量的分類，隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)特征等概念的引進(jìn)都有明確的背景，在學(xué)習(xí)中要深入理解體會(huì).?

　　2. 在學(xué)習(xí)“概率論”過程中對(duì)于引入概念的內(nèi)涵和相互間的聯(lián)系和差異要仔細(xì)推敲，例如隨機(jī)變量概念的內(nèi)涵有哪些意義：它是一個(gè)從樣本空間到實(shí)軸的單值實(shí)函數(shù)X(w)，但它不同于一般的函數(shù)，首先它的定義域是樣本空間，不同隨機(jī)試驗(yàn)有不同的樣本空間.而它的取值是不確定的，

　　隨著試驗(yàn)結(jié)果的不同可取不同值，但是它取某一區(qū)間的概率又能根據(jù)隨機(jī)試驗(yàn)予以確定的，而我們關(guān)心的通常只是它的取值范圍，即對(duì)于實(shí)軸上任一B，計(jì)算概率P(X∈B)，即隨機(jī)變量X的分布.只有理解了隨機(jī)變量的內(nèi)涵，下面的概念如分布函數(shù)等等才能真正理解.又如隨機(jī)事件的互不相容和相互獨(dú)立兩個(gè)概念通常會(huì)混淆，前者是事件的運(yùn)算性質(zhì)，后者是事件的概率性質(zhì)，但它們又有一定聯(lián)系，如果P(A)·P(B)>0，則A，B獨(dú)立則一定相容.類似地，如隨機(jī)變量的獨(dú)立和不相關(guān)等概念的聯(lián)系與差異一定要真正搞懂.?

　　3. 搞懂了概率論中的各個(gè)概念，一般具體的計(jì)算都是不難的，如F(x)=P(X≤x),EX,DX等按定義都易求得.計(jì)算中的難點(diǎn)有古典概型和幾何概型的概率計(jì)算，二維隨機(jī)變量的邊緣分布fx(x)=∫－∞∞ f(x,y)dy,事件B的概率P((X，Y)∈B)=∫∫Bf(x,y)dxdy，卷積公式等的計(jì)算，它們形式上很簡(jiǎn)單，但是由于f(x,y)通常是分段函數(shù)，真正的積分限并不再是(－∞,∞)或B，這時(shí)如何正確確定事實(shí)上的積分限就成了正確解題的關(guān)鍵，要切實(shí)掌握.?

　　4. 概率論中也有許多習(xí)題，在解題過程中不要為解題而解題，而應(yīng)理解題目所涉及的概念及解題的目的，至于具體計(jì)算中的某些技巧基本上在高等數(shù)學(xué)中都已學(xué)過.因此概率論學(xué)習(xí)的關(guān)鍵不在于做許多習(xí)題，而要把精力放在理解不同題型涉及的概念及解題的思路上去.這樣往往能“事半功倍”.

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