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《雞兔同籠》教學(xué)案例
《雞兔同籠》教學(xué)案例
設(shè)計說明：
“雞兔同籠”問題是人教版六年級上冊第七單元《數(shù)學(xué)廣角》中的內(nèi)容。在傳統(tǒng)教材中，這一問題都是以提高題出現(xiàn)，面對的是少部分學(xué)有余力的學(xué)生。在新教材中，此問題成為面向全體學(xué)生的教學(xué)內(nèi)容。“雞兔同籠”問題是我國民間廣為流傳的數(shù)學(xué)趣題，最早出現(xiàn)在《孫子算經(jīng)》中。 “雞兔同籠”問題，一方面可以培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理能力；另一方面使學(xué)生體會代數(shù)方法的一般性。
1. 由《孫子算經(jīng)》中的“雞兔同籠”問題引入，激發(fā)學(xué)生的解題興趣。
首先通過富有情趣的古代課堂，生動地呈現(xiàn)了在《孫子算經(jīng)》中記載的“雞兔同籠”問題，并通過小精靈的提問激發(fā)學(xué)生解答我國古代著名數(shù)學(xué)問題的興趣。
2. 注重體現(xiàn)解決“雞兔同籠”問題的不同思路和方法。
考慮到《孫子算經(jīng)》中原題的數(shù)據(jù)較大，在例1中從數(shù)據(jù)較小的問題入手，讓學(xué)生嘗試解決。體現(xiàn)了學(xué)生從猜測到用“假設(shè)法”和列方程的方法解決問題的探究過程，同時也表達(dá)了解決“雞兔同籠”問題的不同思路和方法。除例1中運(yùn)用的方法外，在閱讀材料中也介紹了一種古人常用的解決該類問題的方法，讓學(xué)生感受古人巧妙的解題思路。
3. 拓寬對“雞兔同籠”問題的認(rèn)識，明確其在生活中的應(yīng)用。
配合“雞兔同籠”問題，在“做一做”和練習(xí)中安排了類似的一些習(xí)題，比如“龜鶴”問題，生活中的一些實際問題等，讓學(xué)生進(jìn)一步體會到這類問題在日常生活中的應(yīng)用，并鞏固用“假設(shè)法”或方程的方法來解決這類問題。
教學(xué)設(shè)計：
教學(xué)內(nèi)容：人教版小學(xué)數(shù)學(xué)六年級上冊112---114頁例1
教學(xué)目標(biāo)：
�。�1）了解"雞兔同籠"問題，感受古代數(shù)學(xué)問題的趣味性。
（2）通過猜測、列表、假設(shè)或方程解等方法，解決"雞兔同籠"問題。
�。�3）培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理能力，讓學(xué)生體會到數(shù)學(xué)問題在日常生活中的應(yīng)用。
教學(xué)重點：嘗試用不同的方法解決“雞兔同籠”問題。
教學(xué)難點：在解決問題的過程中培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理能力。
一、故事引入（出示）
教師：在我國古代流傳著很多有趣的數(shù)學(xué)問題，"雞兔同籠"就是其中之一。這個問題早在1500多年前人們就已經(jīng)開始探討了。
出示題目：今有雉兔同籠，上有三十五頭，下有九十四足，問雉兔各幾何？（籠子里有若干只雞和兔。上面數(shù)，有35個頭，下面數(shù)，有94只腳。雞和兔各有幾只？）
二、探究新知
�。�、教學(xué)例１：籠子里若干只雞和兔。從上面數(shù)有8個頭，從下面數(shù)有26只腳。雞和兔各有幾只？
師：請大家自由讀題，你都知道了什么？
�。�1） 雞和兔一共有8個頭。雞兔一共有26條腿。求分別有幾只？還有補(bǔ)充嗎？有兩個隱藏條件看誰細(xì)心發(fā)現(xiàn)了？
�。�2） 雞有2條腿，兔子有4條腿。雞和兔一共有8個頭。雞兔一共有26條腿。求分別有幾只？。
2．先猜一猜，雞兔可能有幾只？可能只有一種動物嗎？
學(xué)生猜測，匯報。不可能都是雞，因為如果都是雞就會有16條腿，而題目中是26條腿。也不可能都是兔，因為如果都是兔就會有32條腿。
3．獨(dú)立思考：師：你們愿意自己獨(dú)立解決這個問題，還是我教給你們方法你們做？好，那就請你用你自己喜歡的方法來解決這個問題。學(xué)生獨(dú)立完成。
4、同桌交流：把你的想法做法和同桌交流一下。
5．匯報：
�。�1）列表：
雞的
只數(shù) 8 7 6 5 4 3 2 1 0
兔的
只數(shù) 0 1 2 3 4 5 6 7 8
共有
腿數(shù) 16 18 20 22 24 26 28 30 32
師：誰和他的方法一樣？能再講講嗎？
師：追問“有些同學(xué)在填表時寫出的腿數(shù)特別快，讓我們采訪一下有什么秘訣？”
（因為雞和兔的只數(shù)是固定的，每增加一只兔子減少一只雞，腿的總只數(shù)就增加，所以列表列得特別快。）
師： “像你們這樣，采用列表的方法，不重復(fù)、不遺漏的寫出所有可能的答案。這種逐一列舉的方法在數(shù)學(xué)中也稱為“枚舉法”
�。�2）假設(shè)法：
小組1：假設(shè)全都是雞：2×8=16（條） 26-16=10（條）
10÷2=5（只）……兔子 8-5=3（只）……雞
板書“假設(shè)法。
除了可以假設(shè)都是雞，還可以怎樣假設(shè)呢？
小組2：引導(dǎo)學(xué)生說出都是兔，演示
假設(shè)籠子里都是兔，那么就是8×4＝32（只）腳，這樣就比題目少32-26＝6（只）腳。
因為剛才是把雞當(dāng)成兔子，一只雞多算兩只腳，那么少出的6只腳就有
6÷2＝3（只）……雞。 兔子有：8－3＝5（只）
（3）拓展延伸：解答這個問題，還有不同的方法嗎？
�。�4）用方程
你能試著用方程來解決這個問題嗎?可以設(shè)誰為未知數(shù)?
解：設(shè)雞有x只，那么兔就有（8－x）只。
根據(jù)雞兔共有26只腳來列方程式
2x＋(8－x)×4＝26
x＝3
8－3＝5(只)
還可以設(shè)哪個量為未知數(shù)?你會解答嗎？
6、小結(jié)解題方法：
教師：以上幾種解法，哪一種解法更方便？
小結(jié)：要解決"雞兔同籠"問題，可以采用假設(shè)法或方程解都可以。用方程解更直接。
7、獨(dú)立解決故事中的趣題。
�。�1）方程解：
解：設(shè)雞有x只，那么兔就有（35－x）只。根據(jù)雞兔共有94只腳來列方程式
2x＋(35－x)×4＝94
x＝23
35－23＝12(只)
答：雞有23只，兔有12只。
�。�2）算術(shù)解：
假設(shè)都是雞。
2×35＝70（只） 94－70＝24（只）
24÷（4－2）＝12（只） 35－12＝23（只）
答：雞有23只，兔有12只。
三、鞏固與運(yùn)用
1、教科書第115頁做一做的第1題。
2、教科書第115頁做一做的第2題。
提問：根據(jù)圖中你能了解什么信息？（一條大船乘6人，一條小船乘4人）
四、作業(yè)：練習(xí)二十六第一、二題。
五、課堂小結(jié)：通過今天的學(xué)習(xí)，你有哪些收獲？
教學(xué)反思： “雞兔同籠”借助我國古代趣題“雞兔同籠”問題，使學(xué)生展開討論，應(yīng)用假設(shè)的數(shù)學(xué)思想，從多角度思考，猜測、推理，運(yùn)用多種方法解題，學(xué)生在具體的解決問題過程中，根據(jù)自己的經(jīng)驗，逐步探索不同的方法，找到解決問題的策略，在合作交流學(xué)習(xí)的過程中，積累解決問題的經(jīng)驗，掌握解決問題的方法。
一、在放手探究中體會解題思想
在學(xué)生剛接觸“雞兔同籠”問題時，學(xué)生要列式計算往往感到困難，通過列表枚舉解決問題是一種實用的解決問題的策略。
[片斷一] 列表法
師：如果先猜有8只雞和0只兔，就有16只腳；再猜有7只兔和1只雞，就有18只腳；然后，按照這樣的順序猜下去就可以猜出來。請仔細(xì)觀察表格，你能發(fā)現(xiàn)什么？把你的發(fā)現(xiàn)和同座交流。
生1：我發(fā)現(xiàn)雞和兔的總只數(shù)沒有變。
生2：我發(fā)現(xiàn)雞在減少，兔在增加，腳也在增加。
生3：我發(fā)現(xiàn)每減少1只雞，增加1只兔，腳的總只數(shù)增加2只。
師：大家都發(fā)現(xiàn)了在雞和兔的總只數(shù)不變的情況下，每增加1只兔、減少1只雞，腳的總只數(shù)增加2只；反之，每減少1只兔，增加1只雞，腳的總只數(shù)減少2只。這個2是怎么來的呢？
生：因為1只雞有2只腳，1只兔有4只腳，1只兔比1只雞就多出了2只腳，也就是用4－2＝2算出來的。
師：看來大家還有一個會思考的大腦。通過列表，你們覺得用列表法解決雞兔同籠問題好嗎？
生：當(dāng)頭和腳的只數(shù)較多時，用列表法還是不容易找出答案，我們還有研究新方法的必要。
猜想法和列表法都是解決問題的策略，但都有其局限性。教學(xué)中，既讓學(xué)生理解、掌握和運(yùn)用了這些策略，又未局限于這些基本的策略；既體現(xiàn)了解決問題策略的多樣化，又通過表格規(guī)律的發(fā)現(xiàn)，為探索新策略奠定了不可缺少的基礎(chǔ)；教師既關(guān)注了學(xué)生解決問題的結(jié)果，更關(guān)注了學(xué)生解決問題的過程與方法，并在不斷提升學(xué)生解決問題的技能技巧。
二、在策略多樣性中體驗最優(yōu)思想
[片斷二] 假設(shè)法
師：我們先從表格中右起的第一列，8和0是什么意思？
生：就是有8只雞和0只兔，也就是假設(shè)籠子里全是雞，這樣就有16只腳。
師：實際腳的只數(shù)是26只，這樣就籠子里就多出了10只腳，該怎么辦呢？
生：用剛才我們發(fā)現(xiàn)的規(guī)律：在雞兔總只數(shù)不變的情況下，每增加1只兔、減少1只雞，腳的只數(shù)就會增加2只，應(yīng)該增加5只兔，腳的只數(shù)才變成26只，即10里面有5個2。
師：上面的過程能用算式表示出來嗎？請同學(xué)們試試看。我們來聽聽他是怎么想的。
生：假設(shè)籠子里全是雞，就有2×8=16只腳，而籠子里實際有26只腳，這樣就多出了26－16=10只腳，而1只兔比1只雞多2只腳，這樣就有10÷2=5只兔，雞的只數(shù)就是8－5=3只了。
師：那么除了把兔看做雞，還可以怎樣假設(shè)呢？你會計算嗎？
演示：“假設(shè)法” 中假設(shè)全是兔的情況。
讓學(xué)生認(rèn)識、理解、運(yùn)用假設(shè)法是本節(jié)課的教學(xué)重點，也是教學(xué)難點。為此，以表格中數(shù)據(jù)變化規(guī)律為探究基礎(chǔ)，以小組合作、師生互動為探究方式，以動態(tài)演示為探究輔助手段，巧妙地將認(rèn)知經(jīng)驗和思維過程轉(zhuǎn)化成了數(shù)學(xué)語言，即數(shù)學(xué)算式，從而形成了解決問題的全新的一般策略，發(fā)展了學(xué)生的思維水平和推理能力。
三、 注重數(shù)學(xué)思想的滲透
“雞兔同籠”是我國民間廣為流傳的數(shù)學(xué)趣題，教學(xué)中揭去了它令人生畏的奧數(shù)面紗，還其生動有趣的一面。通過學(xué)習(xí)，不僅使學(xué)生感受祖先的聰明才智，而且體會到解題策略的多樣性以及其中蘊(yùn)含的豐富的數(shù)學(xué)思想方法，培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和能力。如：用容易探究的小數(shù)量替代《孫子算經(jīng)》原題中的大數(shù)量的“替換法”解決問題，滲透了轉(zhuǎn)化的思想和方法；用“列表法”解決問題，滲透了函數(shù)的思想和方法；用“算術(shù)法”解決問題，滲透了假設(shè)的思想和方法；用“方程法”解決問題，滲透了代數(shù)的思想和方法等等。
教學(xué)中，學(xué)生先后運(yùn)用猜測法、列表法、假設(shè)法、代數(shù)法等分析和解決問題，從而獲得了分析問題和解決問題的能力。組織學(xué)生多手段、多層面、多角度地探索問題，解決問題的基本方法和一般方法，體驗了解決問題策略的多樣性，使學(xué)生感受“雞兔同籠”問題的變式及其在生活中的廣泛的應(yīng)用，同時體會解題過程中化難為易、化繁為簡的思想方法，發(fā)展了學(xué)生創(chuàng)新意識，開拓了學(xué)生解題思路，發(fā)展了學(xué)生的個性，使學(xué)生在各種數(shù)學(xué)思想的滲透中形成良好的數(shù)學(xué)解題能力。
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