信息技術與數(shù)學教學的整合
一、數(shù)學技術——信息技術的技術支撐點
技術就是運用知識、工具和技能解決、探索一些實際問題，用以擴展人的能力的手段與方法體系之和。技術是一個技術性過程，它是人們在做、制造和實施的不斷演化過程中提高技術水平、發(fā)揮技術功效（美國2061計劃）；技術是人們認識世界和認識自我的一種體現(xiàn)，它是隨著人類社會的進步而不斷進步，是人類文明的基本象征，也是推動歷史發(fā)展的一種動力源。從古代的鉆木取火技術、近代的蒸汽機技術，到今天的信息社會中的信息技術，從擴充人的體力的技術到如今擴充人的腦力的技術，無不體現(xiàn)出技術的價值和它所承載的人類智慧。綜觀技術的發(fā)展，人類為了更好地生存與發(fā)展，創(chuàng)造了許許多多的技術，它們或多或少都與數(shù)學的發(fā)展有著不可分割的聯(lián)系，可以說是相生相伴。人類最初掌握的比較完善的技術之一可以說是記數(shù)技術，從幾萬年前的刻痕記數(shù)（以樹干、骨頭為物質(zhì)載體，把數(shù)刻在其上記事）、結繩記數(shù)（用草繩打結記事）、石子記數(shù)、手指記數(shù)，到近代用的紙筆記數(shù)、現(xiàn)代的計算機計數(shù)，這些記數(shù)方法的不斷改進與演化已經(jīng)形成了今天相當完善的記數(shù)制與計算技術。這些計算技術也就成為數(shù)學技術的主體，而承擔其實施的載體就是電子計算機。現(xiàn)代計算機就是神奇的0與1的組合體。要是沒有德國數(shù)學家萊布尼茨（1646～1716）發(fā)明的二進制，也就不可能有今天計算機的出現(xiàn)。正是由于數(shù)學以它驚人的特性與人類的發(fā)展息息相關，以獨特的身份介入技術的發(fā)展并融入其中，而且以它的精確性和內(nèi)在美體現(xiàn)出它在方方面面的有效性，那么數(shù)學也就理所當然地成為關鍵技術的關鍵，成為信息技術的支撐點。
數(shù)學技術一般指實現(xiàn)數(shù)學運算、推理、應用的信息技術，它總是伴隨著數(shù)學的進步而進步。數(shù)學的原理、思想、方法與技術結合而形成的數(shù)學技術本質(zhì)上就是一種高科技。離開了數(shù)學技術，信息技術將成為無源之水，也就談不上發(fā)展了。
數(shù)學技術是數(shù)學與技術以靈巧方式組合而成的二者不可分割的和諧整體。從某種角度講，數(shù)學上的每一次重大的發(fā)展和突破都是技術（當然包括科學）有大的發(fā)展與進步的前奏，而事實是數(shù)學的發(fā)展往往超前于重大技術的發(fā)現(xiàn)而走在前面。數(shù)學的追求與技術（科學）發(fā)展的目標是相一致的，都追求簡單、清晰、方便、可操作、易于掌握。其實，現(xiàn)階段數(shù)學總是任何計算機仿真的核心，數(shù)學通過對復雜現(xiàn)象的仿真建模，借助計算機對數(shù)據(jù)流進行縮成和可視化，將有助于人們把事情做得更好、更快、更安全、更便利。數(shù)學技術正在以不同的形態(tài)廣泛地應用于現(xiàn)實生活世界的各個方面。檢查身體的CT掃描技術，車輛、飛機的模擬、設計和控制技術，金融證券價值的估算技術，天氣和氣象的預測技術，電子設計自動化以及生物工程等技術，其核心都是數(shù)學技術。數(shù)學技術正是依附于計算機來顯現(xiàn)它的威力，而計算機正是依靠數(shù)學技術得以工作與革新?lián)Q代。
“信息技術是指對信息進行采集、傳輸、存儲、加工、交流、應用的手段和方法的體系�！毙畔⒓夹g按表現(xiàn)形態(tài)的不同分為硬技術與軟技術，前者指各種信息設備，即一種物化形態(tài)的技術；后者指有關信息獲取與處理的各種知識、方法與技能，即一種智能形態(tài)的技術。前者就是將人類的一切信息都以計算機語言的0或1的二進制來表達，這是人類文明在數(shù)學基礎上的一次史無先例的科學整合，是影響人類生存和發(fā)展的巨大科學成就，而最具代表性的計算機的設計者就是20世紀最著名的數(shù)學家馮·諾依曼；后者所指的信息獲取與處理的知識、方法、技能都是與數(shù)學技術密不可分的，從某種程度上看，就是數(shù)學化的過程。由此可見，數(shù)學技術是信息技術中最為關鍵的技術，是信息技術的技術支撐點。
二、信息技術——數(shù)學及數(shù)學技術發(fā)展與應用的平臺
現(xiàn)代信息技術的發(fā)展、應用，把數(shù)學以技術化的方式快速地傳送到人們?nèi)粘Ｉ畹母鱾�領域，使得數(shù)學對科學、技術、社會的發(fā)展起到了更加巨大的推動作用，同時也促使數(shù)學技術的不斷發(fā)展。數(shù)學技術的發(fā)展使得圖形計算器、數(shù)學軟件的功能增長，用于計算、解方程、繪圖像、解微積分方程、因式分解、數(shù)據(jù)統(tǒng)計、數(shù)值計算、符號演算、機器證明、圖形演示以及進行思維實驗都能以更加簡潔快捷的方式進行，而且使得計算機的驗證功能、編程功能、聯(lián)網(wǎng)功能更加強大。由于數(shù)字化經(jīng)濟、數(shù)字信息處理以及大量的探索性數(shù)據(jù)分析、觀察、實驗、模擬與計算技術密不可分，因而數(shù)學就同時具有科學和技術的雙重身份，這也就從某一側面反映了數(shù)學的實質(zhì)性內(nèi)涵。由于計算機的發(fā)展，使人們可以解決非常復雜的非線性問題，已經(jīng)超越了常規(guī)解決問題的方法，利用計算機的支撐能揭示本來數(shù)學的現(xiàn)象，能給數(shù)學以強大的推動力，計算機不僅為數(shù)學應用提供了解答，而且賦予人們以靈感和直覺，數(shù)學實驗室軟件能夠動態(tài)地揭示知識的構造，并形象地對數(shù)學知識進行表述，而且能動態(tài)地呈現(xiàn)問題產(chǎn)生的過程，并自動解決，相互推理。計算機的應用對數(shù)學家而言猶如望遠鏡對于天文學家、顯微鏡對生物學家，給數(shù)學家進行數(shù)學研究和創(chuàng)造提供了銳利的武器。
信息技術為數(shù)學的發(fā)展注入了活力，在計算機面前由于好多知識變成動態(tài)化，可以激發(fā)人們對數(shù)學的熱愛，引發(fā)人們展開想像的翅膀不斷思索與追求，使得數(shù)學以與以往不同的形態(tài)——可視化、快捷化、人文化而展現(xiàn)在人們面前。由于計算機的影響，數(shù)學正在加速改變著它的內(nèi)容、結構和方法，也加速改變著人們對數(shù)學的理解方法，這是因為幾何現(xiàn)象的實驗成為可能，從數(shù)學上看，迄今為止代數(shù)的表現(xiàn)形式在書寫表示方面有非常有利的一面，幾何不是記號，而僅僅是你頭腦中的某個幾何對象——圖形，表現(xiàn)的是更為抽象和復雜的數(shù)學概念，借助計算機就可以傳送出比現(xiàn)在更多、更豐富的幾何內(nèi)容，如可以展現(xiàn)一些分形模型、一些動態(tài)的復雜曲線等。用計算機進行科學計算是計算機最為基本的功能，它可以在很短的時間內(nèi)收集和處理大量的數(shù)據(jù)，作出判斷，形成公式，構建理論；計算機可用于作數(shù)學實驗，如火箭發(fā)射、核彈爆炸、軍事演示、飛機汽車橋梁設計等都是借助計算機進行實驗的；計算機同時還可以進行數(shù)學證明，如四色定理在1976年被兩位美國數(shù)學家用計算機予以證明，我國數(shù)學家吳文俊也在計算機上用代數(shù)方法證明了歐氏幾何已知的一切定理。
數(shù)學是一個非常美的領域，這是因為數(shù)學的主要部分是由人類的心靈構成的。你可以自由探索自己心目中的數(shù)學世界，正是這種自由探索才是數(shù)學美的力量所在。計算機技術為數(shù)學這種美的展現(xiàn)提供了一個豐富的平臺，給人們以豐富的探索與實驗空間。數(shù)學是對現(xiàn)實世界的一種思考、描述、刻畫、解釋、理解，其目的是發(fā)現(xiàn)現(xiàn)實世界中所蘊藏的一些數(shù)與形的規(guī)律，為社會的進步與人類的發(fā)展服務。正是有了信息技術，加快了人類認識自然與人類自身的速度與質(zhì)量，基因工程就是一個典型的例題。在信息技術條件下，許多新的數(shù)學思想與方法不斷突破，數(shù)學結構與內(nèi)容的不斷豐富，一些新的學科——近代數(shù)學技術、運籌優(yōu)化、工程自控、信息論、數(shù)理統(tǒng)計、計算機科學、模糊識別等也就應運而生。計算機與數(shù)學的結合，使得數(shù)學開拓了研究領域，成為數(shù)學探索的新平臺。
數(shù)學家們總是用他們的思想眼光來審視出現(xiàn)于數(shù)學研究所有領域中的抽象的目標與過程。計算機技術的巨大進步已經(jīng)使得把這些模糊、主觀和只能在頭腦中想像的抽象的對象、目標、過程外在化而變得很容易，也就是用精確、客觀和其他人可以共享的可視化來表現(xiàn)、演示，從而使思維及過程視覺化。數(shù)學對象可以用計算機來表示、展現(xiàn)，從而使人們對數(shù)學對象產(chǎn)生新的認識，由靜到動、構形、成形，進而進行操作、實驗，特別是幾何對象——曲線、曲面、多面體，而成為任何計算機仿真的核心。在計算機環(huán)境下，人們更多的是用漸近方法、數(shù)值方法去探究數(shù)學規(guī)律，進行建模和科學計算。如利用計算機可以對進行小數(shù)點幾十億位以后的計算，用來檢驗人類的智慧水平。同樣好多在數(shù)學領域無法實現(xiàn)的一些設想在計算機環(huán)境下正在不斷實現(xiàn)，如幾千年來人們夢想的數(shù)學定理的機器證明的實現(xiàn)就是一個極具代表性的例證。由于計算機的介入使得數(shù)學的應用與普及不斷深入，已逐漸滲透到各個學科，取得了驚人的成績，數(shù)學價值與功能的不斷挖掘促使人們對數(shù)學的認識更加全面深刻。
三、信息技術——教學課程整臺的助推器
隨著21世紀的到來，以計算機和互聯(lián)網(wǎng)為代表的當代信息技術，正在以驚人的速度改變著人們的生存方式和學習方式，也迫切需要我們改變教育方式。為了迎接信息技術的挑戰(zhàn)，為了中華民族的復興，為了每位學生的發(fā)展，新一輪基礎教育課程改革正在全面展開。正是由于數(shù)學、數(shù)學教育與信息技術有著天然的不可分割的依存關系，那么在當前基礎教育課程改革的新形勢下，數(shù)學課程的改革就顯得意義更加深遠和重大�，F(xiàn)代信息技術的發(fā)展一方面為數(shù)學教育的普及與傳播提供了得天獨厚的土壤，另一方面也對數(shù)學教育的價值、目標、內(nèi)容以及學與教的方式產(chǎn)生了重大的影響。數(shù)學課程改革要反映信息技術所引發(fā)的變革，就必須在數(shù)學課程理念、數(shù)學課程的設計與實施中與信息技術進行整合。
1．信息技術與教學課程理念的整合
理念是理性化的一些觀念，具有穩(wěn)定性、長效性、持續(xù)性、指導性。形成正確的數(shù)學課程理念是更好從事數(shù)學教育的邏輯起點，因為理念在數(shù)學教育活動過程中具有統(tǒng)馭作用。在義務教育階段的數(shù)學課程標準中，基本理念專門有一個方面來闡述現(xiàn)代信息技術在數(shù)學課程中的地位，其他的幾個方面也間接或直接地涉及到信息技術。在高中數(shù)學課程標準的框架設想中也高度重視信息技術對數(shù)學課程的影響，認為應不僅重視利用信息技術來呈現(xiàn)課程內(nèi)容，更應重視信息技術與課程內(nèi)容的有機整合。設想中提到要在課程中使用科學型計算器以及各種數(shù)學教育平臺，加速數(shù)學與信息技術的結合。在內(nèi)容上，要突出算法在整個數(shù)學發(fā)展中的獨特作用，使算法成為理解數(shù)學發(fā)展的重要線索，力求把算法融入到數(shù)學課程的各個部分。正是因為信息技術已經(jīng)融化到數(shù)學教育的深層結構，融入數(shù)學教育的知識體系，成為傳播內(nèi)容的最佳工具和學生探究知識、體驗數(shù)學、感受知識的中介，在可預見的將來，信息技術將使數(shù)學教育發(fā)生一些實質(zhì)性的變化，數(shù)學教育的面貌將會煥然一新，數(shù)學教育的實踐與數(shù)學教育的理論研究將會更加深入。
信息技術的發(fā)展改變了人類學習與生存發(fā)展的環(huán)境，也改變了幾個世紀數(shù)學教學、數(shù)學學習的方式。由于它對人發(fā)展的重要性，迫使人們不斷思索數(shù)學與現(xiàn)實的切合度；更是因為信息技術與數(shù)學技術的千絲萬縷的聯(lián)系，使人們認識到它在數(shù)學課程結構中的重要性。信息技術不僅被看做是教師教的工具、是學生學的工具、是學生的認知工具與情感發(fā)展工具，而且也是數(shù)學教育工作者在建構數(shù)學內(nèi)容體系時首先考慮的因素，進而引發(fā)人們重新思考數(shù)學課程的基礎性、多樣性、選擇性以及如何在信息技術條件下使學生積極主動地學習，在打好基礎與追求創(chuàng)新中不斷提高學生的數(shù)學思維能力，更進一步促使人們思考在數(shù)學教育過程中如何利用與發(fā)展學生的信息技術能力，如何處理好師生關系。在信息技術條件下，必將改變?nèi)藗儗?shù)學的內(nèi)容、形式、應用、人文價值以及評價的認識與看法，可見信息技術與數(shù)學課程理念的整合是數(shù)學教育發(fā)展的必然。
2．信息技術與教學課程內(nèi)容選取的整合
信息技術與數(shù)學課程內(nèi)容的整合可以打破數(shù)學知識間的條塊分割局面，使傳統(tǒng)代數(shù)、幾何、三角分家的體系成為一個有機的整體，打通知識融合的道路。義務教育階段，數(shù)學課程標準按不同層次將學生必須學的數(shù)學知識分為數(shù)與代數(shù)、空間與圖形、統(tǒng)計與概率以及實踐與綜合運用四部分，然后按不同學段整合成學生的學習領域。而這些內(nèi)容標準只給出具體目標，不直接對教學具體內(nèi)容、教材編寫體系、教學先后順序等問題作出硬性統(tǒng)一的規(guī)定，使學生所學和教師所教富有彈性和力量。在當今信息技術迅猛發(fā)展的時代，各種信息撲面而來，越來越需要人們綜合素質(zhì)的提高，需要學生動用各種知識、方法和手段來獲取信息，特別是一些數(shù)據(jù)信息的處理，借用計算機來完成更加快捷方便，使得與我們不能分離的數(shù)顯得更具應用價值。即使對一些煩瑣的計算、方程的求解、遞歸、迭代，也能在計算機上實現(xiàn)，使得日常生活中一些重要的數(shù)學知識以快捷方便的形式出現(xiàn)在課堂上，成為學生學習的內(nèi)容，大大豐富了學生的知識疆界。利用計算機可以更方便地尋找數(shù)與形的規(guī)律，使得觀察與驗證得以進行，使得數(shù)與形的結合真正從理論走向實踐。正是借助于計算機，才使得一些現(xiàn)代數(shù)學的內(nèi)容能夠及時地滲透到中學數(shù)學內(nèi)容體系之中，如分形、混濁問題、孤立子等非線性知識進入學生課堂。同時才有可能把原先一些費勁的煩瑣計算問題簡化下來，使學生有更多的時間考慮如何探索獲取更多的知識，使得有更多的內(nèi)容以方便的形式介入學生的學習過程中，真正實現(xiàn)數(shù)學內(nèi)容的彈性化、學生發(fā)展空間的擴大化；使學生有機會接觸一些有重要價值的數(shù)學知識，如高中數(shù)學中設計邏輯框圖讓計算機去執(zhí)行、用計算機符號系統(tǒng)表示數(shù)學內(nèi)容、用計算機語言表達數(shù)學命題、用程序和算法表示數(shù)學過程、“IF…，THEN…”這樣的語句可以在數(shù)學課程中出現(xiàn)等。
信息技術的介入使得數(shù)學知識的結構發(fā)生了一些變化，可以使學生認識數(shù)學知識的組成要素，特別是對它的一些基本屬性進行重新認識，使知識更多的以過程的方式進入學生的學習生活中。而從事編寫教材的人也有更多的選擇余地、更大的思考空間，數(shù)學教材中的一些知識呈現(xiàn)方式動態(tài)化、可操作化，更多的是讓學生去試驗。使得師生的思維方式得以不斷擴展，人們更有信心和力量。
3．信息技術與教學教學的整合
信息技術與數(shù)學課程的整合最直接的就是教學方式的變革與學習方式的變革。在信息技術條件下，引起數(shù)學教育工作者更多的就是對教學觀的反思與課堂結構變化的關注。信息技術環(huán)境下所發(fā)生的最根本的變化之一是教師作用與角色、學生學習環(huán)境的變化，教師不再是知識的提供者、權威和智慧的源泉，而成為學生進行探索和發(fā)現(xiàn)的伙伴、援助者和指導者、促進者、引導者。學生不僅僅是從聽與做作業(yè)中獲取知識，而是在自主探索、合作交流的情境中進行學習；學生不再是知識的被動接受者，而是知識的主動探索者，問題討論的啟動者和調(diào)整者，問題解決的參與者、經(jīng)歷者，使學生獲得更多的學習機會與權利。
信息技術對數(shù)學的學習者與教學者都將產(chǎn)生深遠而又持久的影響，這將是革命性的一場變革。學習方式（地點、時間、環(huán)境、資源）發(fā)生了變化，教學內(nèi)容與學生的發(fā)展的關聯(lián)性將無比接近，教學模式將更加體現(xiàn)數(shù)學課程改革的新理念，使人人都能得到發(fā)展。由于有信息技術作為學習的平臺，就可以滿足多樣性、個性化、區(qū)別化的需求。學生可以利用的資源更加豐富，會更加積極地參與學習過程，探索與不斷思索才能實現(xiàn)。對教師而言，原先在教學中起主導作用的教材、教參、黑板、粉筆等載體和手段現(xiàn)在可以被以計算機為主要載體所營造的教學環(huán)境所代替，如多媒體學習系統(tǒng)、資料庫等，這樣教師不僅有靈活選擇一些素材的余地，而且可以大膽創(chuàng)設一些教學環(huán)境，設計更加開放互動的學習活動，參與式、活動式、主體性教學得到實現(xiàn)，師生關系得以改變，成為真正的合作者。
信息技術提供了理解、探索數(shù)學的平臺，把數(shù)學變得容易理解，使得數(shù)學走向生活，走向現(xiàn)實，更加情境化，使得數(shù)學教學更加生動活潑，真正從書本中、課堂上、考試中走出來，回到數(shù)學教學的本體上來。利用技術之間的交互作用，創(chuàng)設逼真的數(shù)學學習情境，用錄像、影碟以及計算機軟件的方式呈現(xiàn)數(shù)學問題，以視覺形式出現(xiàn)比以文本的形式出現(xiàn)使得數(shù)學材料更具有活動性、可視性和空間立體感，而且易于與其他學科相結合，使得數(shù)學知識與其他知識融通起來，進而使學生深刻體會數(shù)學的作用與價值，感悟數(shù)學的真諦，真正經(jīng)歷數(shù)學化的過程，共事學習收獲，從中真切地感受數(shù)學的優(yōu)美、力量、統(tǒng)一性。
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