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數(shù)學(xué)史融入小學(xué)教學(xué)案例設(shè)計與解析論文
摘 要： 筆者先提出數(shù)學(xué)史融入教學(xué)的重要性, 然后分析目前教學(xué)中所存在的教學(xué)方式的問題。最后, 筆者以“數(shù)學(xué)廣角——雞兔同籠”這節(jié)課為例, 將數(shù)學(xué)史融入該教學(xué)案例的設(shè)計與解析。
關(guān)鍵詞： 數(shù)學(xué)史; 小學(xué)數(shù)學(xué); 教學(xué)方式;
數(shù)學(xué)是人類文化中最重要的一種文化, 是人類文化發(fā)展中的一個重要標(biāo)志[1]。小學(xué)階段的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)對小學(xué)生之于課程的認(rèn)知具有深遠(yuǎn)的影響, 教師要仔細(xì)認(rèn)真地研究我們的小學(xué)數(shù)學(xué)教材, 對課堂教學(xué)負(fù)責(zé)。不能讓學(xué)生對數(shù)學(xué)產(chǎn)生“討厭”的想法。若其帶著厭惡的心理被迫在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)上投入時間和精力, 這樣是不符合我們的素質(zhì)教育思想, 對學(xué)生的成長也有不利影響。那抽象理性的數(shù)學(xué)跟具體感性認(rèn)知的小學(xué)生之間該用什么橋梁來聯(lián)系呢?研究表明, 教學(xué)過程中適時地融入數(shù)學(xué)史料就是一種可行的做法。這也符合我們課程標(biāo)準(zhǔn)中的課程教育理念。
1、數(shù)學(xué)史的重要性
數(shù)學(xué)史是數(shù)學(xué)文化傳播的一種重要的體現(xiàn)形式。數(shù)學(xué)史之于數(shù)學(xué)教學(xué)的價值早在19世紀(jì)就被一些西方數(shù)學(xué)家所認(rèn)識。1972年, 在英國�？巳� (Exeter) 召開的第二屆國際數(shù)學(xué)教育大會上, 成立了數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教學(xué)關(guān)系國際研究小組 (International Study Group on the Relations between History and Pedagogy of Mathematics, 簡稱HPM) 。1976年, HPM開始隸屬于國際數(shù)學(xué)教育委員會 (ICMI) 。其中就有一個工作小組負(fù)責(zé)如何納數(shù)學(xué)史為一種數(shù)學(xué)工具, 也就是:在數(shù)學(xué)課程中, 試著為數(shù)學(xué)史尋求一個定位。這樣的研究群組目的是結(jié)合數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教學(xué), 以便提升數(shù)學(xué)教育的成效。
數(shù)學(xué)史對激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣, 培養(yǎng)學(xué)生的品格和思想, 熏陶學(xué)生不畏艱難的性格等都有重要的作用�，F(xiàn)在世界上越來越多的國家開設(shè)數(shù)學(xué)史課程, 而且大都從培養(yǎng)愛國主義的狹隘天地轉(zhuǎn)向為培養(yǎng)能力和思想。從數(shù)學(xué)史可清楚看出, 無論是數(shù)學(xué)的概念還是數(shù)學(xué)的運算、規(guī)則等都是由于現(xiàn)實世界的實際需要而形成的。數(shù)學(xué)是現(xiàn)實世界的抽象反映和人類經(jīng)驗的總結(jié), 數(shù)學(xué)教育如果脫離了那些豐富多彩而又錯雜的背景材料, 就將成為“無源之水, 無本之木”。數(shù)學(xué)教育是現(xiàn)實數(shù)學(xué)的教育。
2、存在的問題
但通過一些公開課的觀察發(fā)現(xiàn):數(shù)學(xué)史融入小學(xué)課堂依舊簡單機械, 過于生硬。很多教師都是在數(shù)學(xué)課堂開始或者結(jié)束前增加一個介紹數(shù)學(xué)史料的環(huán)節(jié), 如數(shù)學(xué)家的生平故事、概念的發(fā)展歷程、有趣的歷史名題等, 以此試圖激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣, 為課堂增添一抹亮色。增加的數(shù)學(xué)史料形式上圖文并茂, 配上動聽的音樂, 確實讓學(xué)生在枯燥的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中感覺到了一絲新鮮。但是, 如此處理數(shù)學(xué)史料, 不過是停留在知識拓展的低水平狀態(tài), 對歷史進(jìn)行簡單的拼湊, 使得數(shù)學(xué)史料與小數(shù)學(xué)課堂產(chǎn)生裂痕。所以說將數(shù)學(xué)史料融入小學(xué)數(shù)學(xué)課堂絕不應(yīng)僅僅是簡單的嫁接或移植。我們要選取行之有效的數(shù)學(xué)史方面的教學(xué)素材, 采用與一般模式不同的教學(xué)方式, 將數(shù)學(xué)史很自然地融入小學(xué)數(shù)學(xué)課堂, 讓學(xué)生站在古人的肩膀上體會數(shù)學(xué)思想, 感受數(shù)學(xué)的魅力, 欣賞數(shù)學(xué), 愛慕數(shù)學(xué), 享受數(shù)學(xué)。
3、數(shù)學(xué)史融入教學(xué)案例設(shè)計與解析
筆者選取人教版小學(xué)數(shù)學(xué)四年級下冊第九章“數(shù)學(xué)廣角——雞兔同籠”這一教學(xué)片段來進(jìn)行教學(xué)設(shè)計并進(jìn)行此課堂教學(xué)案例效果分析。數(shù)學(xué)名題之所以流傳不衰, 其中蘊含了豐富的數(shù)學(xué)思想方法。雞兔同籠問題實質(zhì)上是用“二元一次方程組”解決問題的一個經(jīng)典數(shù)學(xué)名題。公元400年, 中國古代數(shù)學(xué)著作《孫子算經(jīng)》成書, 王卷當(dāng)中卷下第31問記錄了著名的“稚兔同籠”問題:今有稚兔同籠, 上有三十五頭, 下有九十四足。問稚、兔各幾何?答曰:稚二十三, 兔一十二。解答方法之一便是:上置三十五頭。下置九十四足。半其足, 得四十七。以少減多, 再命之。上三除下四, 上五除下七。下有一除上三, 下有二除上五, 即得。解答方法之二是:上置頭, 下置足。以頭除足, 以足除頭, 即得[2]。其中滲透了化繁為簡、數(shù)形結(jié)合、數(shù)學(xué)模型這些數(shù)學(xué)思想。在小學(xué)階段, 人教版四年級下冊《數(shù)學(xué)廣角》從《孫子算經(jīng)》的經(jīng)典數(shù)學(xué)名題引入, 主要要求學(xué)生用列表法、假設(shè)法來解決問題, 在閱讀資料中也介紹了抬腳法。雞兔同籠問題實質(zhì)上是雞兔同籠類的問題。如在清代李汝珍的著作《鏡花緣》中第93回眾才女在小整山賞燈時, 出現(xiàn)了兩個與“稚兔同籠”問題的數(shù)量關(guān)系相互類似的問題。
燈謎一:大廳有兩種燈, 一種掛1個大球, 下掛2小球;另一種掛1個大球, 下掛4個小球。大球共掛360個, 小燈球共掛1 200個。兩種燈各有多少盞?
燈謎二:樓上有兩種燈, 一種燈上掛3個大球, 下掛6個小球, 大小球總共9個是一盞燈;另一種燈上掛3個大球, 下掛18個小球, 大小球總共21個是一盞燈。大燈球共396個, 小燈球共1 440個。兩種燈各有多少盞?
文中, 才女蘭芬對燈謎一給出的解答為:“將小燈球1 200減半為600, 用大球360減之, 剩下240, 是240盞四小球燈;用360減去240, 剩下120, 是120盞二小球燈�！边@一中解題的思考方法跟《孫子算經(jīng)》中“稚兔同籠”的“半足法”的思考方法相同, 先把1 200個小燈球減去一半變?yōu)?00個, 然后用600減去大燈球的個數(shù)360, 剩下240, 就是四小球燈的數(shù)量。再用大燈球個數(shù)360減去240, 剩下120, 就是二小球燈的數(shù)量。寫成算式就簡潔明了:
1 200÷2=600 (個)
600-360=240 (盞)
蘭芬對燈謎二的解法是:“先把一千四百四十減半成為卡百二十, 用大球三百九十六減之, 剩余三百二十四, 用六歸之, 得五十四, 是掛十八小球燈五十四盞;用三乘五十四, 得到一百六十二, 減去大球三百九十六, 剩余二百三十四, 用三歸之, 得到七十八, 就是掛六小球燈的數(shù)目[3]”。
簡而言之, 就是先把小燈球數(shù)減半, 再用720減去大燈球數(shù)量396得到324, 用324除以6得到54, 用54乘3得到162, 用大燈球數(shù)396減去162得到234, 最后234除以3等于78, 就是掛6個小球的燈的個數(shù)。這一算法顯然是借鑒了《孫子算經(jīng)》中的“半足法”。古籍中類似這樣的題可以介紹給學(xué)生一觀。在國外, 由于引用的典型例子不同, 有不同的名稱。如日本是用龜鶴代替了雞兔, 所以把這類題稱為龜鶴同游問題。人們還以獵人與狗為素材創(chuàng)編了兒歌。因此這類問題又可以稱為“人狗同行”問題。在引導(dǎo)學(xué)生解決了“雞兔同籠”問題后, 教師可以進(jìn)一步列舉“龜鶴同游問題”和“人狗同行”問題。如筆者在講完雞兔同籠題后, 繼續(xù)深入。
教師:不僅中國人研究這類問題, 日本人也研究, 他們稱雞兔同籠為龜鶴問題 (龜鶴同籠, 共有40個頭, 112只腳, 問龜、鶴各有幾只?) 。提問:日本人說的龜鶴跟我們說的雞兔有關(guān)聯(lián)嗎?
學(xué)生:鶴跟雞一樣, 都有兩只腳, 龜和兔一樣的, 都有四只腳。
教師;那么這道龜鶴同籠問題你能解決嗎?
預(yù)設(shè):龜 (112-40×2) ÷2=16 (只) , 鶴40-16=24 (只) 。
小結(jié):龜鶴同籠和雞兔同籠是具有相同思考方法的同一類型的數(shù)學(xué)問題。
教師:教師在搜索這類數(shù)學(xué)問題時, 還發(fā)現(xiàn)一首有趣的兒歌。
兒歌:一隊獵人一隊狗, 兩列并成一隊走。數(shù)頭共有五十五, 數(shù)腳共有一百九。
教師:我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了雞兔同籠, 龜鶴同籠。那么這首兒歌大家也取個名字。
學(xué)生:人狗共走。
教師:把人狗共走的兒歌跟雞兔同籠比較, 你有什么想法嗎?
學(xué)生:我覺得它跟雞兔同籠問題是一樣的, 獵人相當(dāng)于雞, 有兩只腳。狗相當(dāng)于兔, 四只腳。所以解決問題的思考方式相同。
教師:同學(xué)們同意他的理解方式嗎?
學(xué)生:同意。
教師:看來同學(xué)們已經(jīng)能夠把握住了這類題目的關(guān)鍵, 找到了它們的數(shù)量關(guān)系。
板書:兩只腳:獵人-雞-鶴, 四只腳:狗-兔-龜。
教師:我們回顧這堂課, 從雞兔同籠演變到龜鶴同游, 再演變到人狗同行, 你有什么發(fā)現(xiàn)嗎?雞兔同籠這一歷史名題吸引古今這么多人去解有什么獨特的魅力?
學(xué)生1:雞兔同籠的思考方法很有趣。
學(xué)生2:甚或中好多種和雞兔同籠類似的情況。
“雞兔同籠”問題的教學(xué)就是通過實際生活情境, 讓學(xué)生領(lǐng)悟“發(fā)現(xiàn)、抽象、簡化、解決、處理”問題的整個思維過程。通過“雞兔”的具體講解, 引導(dǎo)學(xué)生初步對問題本質(zhì)提煉之后, 然后通過“龜鶴”“人狗”兩個不同情境突出數(shù)量差異的變化, 進(jìn)而提煉出簡單的問題模型。最后, 如果要完成模型的建構(gòu)與應(yīng)用, 則應(yīng)該將模型演繹到學(xué)生的各種生活情境和問題情境中, 促進(jìn)學(xué)生對模型的進(jìn)一步內(nèi)化。從數(shù)學(xué)模型的建構(gòu)角度來說, 學(xué)生先對雞兔同籠問題做了初步的提煉, 教師通過搜集國外的數(shù)學(xué)史料, 提出問題變式, 讓學(xué)生進(jìn)一步去埋解識別模型。在情境和數(shù)字的“變化”中體會到問題“結(jié)構(gòu)”和分析思路上的“不變”, 進(jìn)而形成此“類”問題的思維模型。通過這一融入國內(nèi)外數(shù)學(xué)名題教學(xué), 學(xué)生不僅經(jīng)歷了生活問題數(shù)學(xué)化的過程, 而且感受到數(shù)學(xué)模型的為量和經(jīng)典歷史名題魅力長存的秘密。
讓學(xué)生在數(shù)學(xué)史的背景下感受數(shù)學(xué)的魅力, 教師通過這種形式滲透數(shù)學(xué)思想, 這是數(shù)學(xué)教師應(yīng)當(dāng)努力去嘗試和創(chuàng)新的一個方向, 讓數(shù)學(xué)變得有趣真實奇妙。
參考文獻(xiàn)：
[1]中華人民共和國教育部.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn) (2011年版) [M].北京:北京師范大學(xué)出版社, 2012.
[2]陳鋼.《孫子算經(jīng)》及雞兔問題[J].湖南教育, 1995 (2) :44.
[3]郜舒竹.“雞兔同籠”算法源流[J].教學(xué)月刊:小學(xué)版 (數(shù)學(xué)) , 2012 (7/8) :26-29.
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